Pontryagin 类 | Codeboy's Blog

形式陈述

实向量丛也能有整数系数的高次特征类吗？设 $E\to X$ 是有限CW复形上的秩 $r$ 实向量丛。用张量积把每根实纤维复化，得到秩 $r$ 复丛 $E_{\mathbb C}=E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ 。定义

p_i(E)=(-1)^i c_{2i}(E_{\mathbb C})\in H^{4i}(X;\mathbb Z), \qquad p(E)=1+p_1(E)+p_2(E)+\cdots, \tag{1}

其中 $c_j$ 是Chern类。因而 $p_i=0$ 当 $2i>r$ ，并且拉回保持这些类。定义不要求 $E$ 定向。

整数系数下有一个必须保留的细节： $E_{\mathbb C}$ 的奇数下标Chern类可能是非零的2挠元。因此一般的Whitney公式

p(E\oplus F)=p(E)p(F) \tag{2}

在把2变成可逆元后成立；在整数上，两边的差被2消去。添加平凡丛则没有这个问题， $p(E\oplus\underline{\mathbb R}^{m})=p(E)$ 在整数上就成立。

直觉

复化把实几何放进已有的Chern类计算框架，但复化后的丛还记得原来的实结构：它与自己的共轭丛同构。这个对称使偶数下标的Chern类留下整数信息，却只把奇数下标类限制为2挠，并没有自动把它们变成零。

Pontryagin类处在上同调次数 $4,8,12,\ldots$ 。它们适合检查稳定的实丛扭曲；要看方向反转或低维的模2障碍，还需要Stiefel–Whitney类。

例子与边界

从两个复线算出一个实四维丛

取 $X=\mathbb{CP}^2$ ，令 $h=c_1(\mathcal O(1))$ ，于是 $H^*(X;\mathbb Z)=\mathbb Z[h]/(h^3)$ 。考虑复秩2丛

V=\mathcal O(2)\oplus\mathcal O(-1).

忘掉复数乘法后， $V_{\mathbb R}$ 是实秩4丛。复化时它分成

(V_{\mathbb R})_{\mathbb C}\cong V\oplus\overline V. \tag{3}

这里纤维映射可写作 $v\otimes z\mapsto(zv,\overline z v)$ ，第二项视为共轭向量空间的元素。这是复线性同构；在一条复线的实基 $1,i$ 上可直接检查矩阵可逆。

因此四个Chern根为 $2h,-h,-2h,h$ 。相乘得到

c\bigl((V_{\mathbb R})_{\mathbb C}\bigr) =(1-4h^2)(1-h^2)=1-5h^2,

所以

p(V_{\mathbb R})=1+5h^2.

独立地， $c_1(V)=h$ 、 $c_2(V)=-2h^2$ ，代入

p_1(V_{\mathbb R})=c_1(V)^2-2c_2(V) \tag{4}

也给出 $5h^2$ 。

类消失并不等于平凡

球面的切丛 $TS^2$ 不平凡，其Euler数为2；但 $S^2$ 的正次数 $4i$ 上同调全部为零，所以所有正次Pontryagin类都为零。这里甚至有 $TS^2\oplus\underline{\mathbb R}\cong\underline{\mathbb R}^{3}$ ：稳定不变量本来就不能恢复所有未稳定的信息。

推论与应用

共轭为什么只给出2挠结论

由分裂原理，可以在上同调拉回单射的空间上把复丛 $W$ 分成线。共轭线的第一Chern类是原来的负数，于是

c_j(\overline W)=(-1)^j c_j(W).

实结构给出 $E_{\mathbb C}\cong\overline{E_{\mathbb C}}$ 。对奇数 $j$ ，这只说明 $2c_j(E_{\mathbb C})=0$ 。

把Chern的Whitney公式按偶数下标收集，偶偶乘积给出式(2)，奇奇乘积则是可能剩下的2挠修正。例如

p_1(E\oplus F)=p_1(E)+p_1(F) -c_1(E_{\mathbb C})c_1(F_{\mathbb C}). \tag{5}

若系数环中2可逆，或相应整数上同调群没有2挠，这个修正便消失。平凡丛的全部正次Chern类为零，故稳定性无需任何无挠假设。

复丛实化与模2核对

式(3)对任意复丛成立。在分裂空间中， $V$ 的根为 $x_1,\ldots,x_n$ ，其共轭根为 $-x_i$ ，因而

p(V_{\mathbb R})=\prod_i(1+x_i^2). \tag{6}

式(4)就是 $\sum_i x_i^2=(\sum_i x_i)^2-2\sum_{i<j}x_ix_j$ 。

另一个核对方式来自实丛同构 $(E_{\mathbb C})_{\mathbb R}\cong E\oplus E$ 。记 $\rho$ 为模2约化。复丛实化满足 $w_{2j}=\rho c_j$ 、奇次 $w$ 为零，而模2的Whitney公式给出 $w(E\oplus E)=w(E)^2$ 。比较次数 $4i$ ，得到

\rho p_i(E)=w_{2i}(E)^2.

这既能检验计算，也说明整数Pontryagin类与模2类记录的信息彼此相接，却不能互相替代。

参考资料

Allen Hatcher，Vector Bundles and K-Theory，§3.2，Pontryagin类定义与命题3.15。
Haynes Miller，MIT 18.906讲义，§36，特别是奇Chern类的2挠限制及反转2后的Whitney公式。

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