Thom 类与 Thom 同构

一根定向的 $r$ 维圆盘带着一个相对顶维类：它检测穿过纤维的方向，并把边界当成零。Thom类要求这些纤维类在整个丛中接得起来。

与Thom类相乘，相当于把底空间上的信息沿每根纤维“加厚” $r$ 维。必须保留球面边界作为相对部分；整个向量丛本身可以沿纤维收缩到底空间，不可能凭空多出这 $r$ 个次数。

平凡三维丛上的次数平移 ​

取 $E=S^2\times {\mathbb{R}}^3$，选标准纤维定向。若 $a\in H^2(S^2;\mathbb{Z})$ 的积分为1，则非零相对群只有

它们分别来自底空间的 $H^0$ 与 $H^2$。反过来，$H^3(E;\mathbb{Z})=0$，因为 $E$ 收缩到 $S^2$。把式(1)右端误写成绝对上同调，连这个平凡例子都会失败。

Möbius线为什么需要模2系数 ​

Möbius实线丛的一根纤维绕圆周走一圈后反向。整数相对生成元因此由 $1$ 变成 $-1$，无法形成全局Thom类。改用 ${\mathbb{F}}_2$，两个符号相同，便有

因此这里的次数1与2相对群均为 ${\mathbb{F}}_2$。定向条件决定的是生成元能否一致选择，不是局部纤维有没有顶维类。

从局部乘积证明全局同构 ​

先看平凡化开集 $V$。纤维对 $(D^r,S^{r-1})$ 的相对上同调仅在次数 $r$ 是自由秩1，乘积的相对Künneth计算便给出

这个同构是与已选纤维生成元的外积，因此直接给出局部Thom类和局部式(1)。

紧性提供有限个平凡化开集。假设结论已在它们中若干个的并 $V$ 上成立，再加入平凡化开集 $W$。交集 $V\cap W$ 上的丛也平凡，因为它是 $W$ 的子集。两边Thom类在交集上具有相同的纤维生成元，故由交集上的乘积计算相等。

对Mayer–Vietoris 的小链短正合列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。，先按球面子丛的链取相对商，再取 $\mathrm{Hom}(-,R)$，便得到这里使用的相对上同调序列。逐次满射可在奇异单形基上补零验证，小链比较仍由细分成立。该序列把这两个类粘成 $V\cup W$ 上的类；其唯一性由交集的

保证。再把底空间的Mayer–Vietoris序列与丛对的序列比较，竖直映射都取与这个全局类的杯积。杯积与限制及连接映射相容，五引理给出并集上的同构。有限次归纳完成证明。纤维定向正是在“交集上相等”这一步发挥作用。

Thom空间与一般Euler类 ​

把 $S(E)$ 压成一点得到Thom空间 $\mathrm{Th}(E)=D(E)/S(E)$，式(1)也可写成

设 $j^{\ast }:H^r(D(E),S(E);R)\to H^r(D(E);R)$ 是忘掉相对部分的映射，$s$ 为零截面。定义一般Euler类

若有处处非零截面，把它缩到圆盘内部后，它与零截面沿纤维线性同伦，而像避开零截面。把Thom类等同于 $H^r(E,E\setminus X;R)$ 中的类，其限制在那里为零，故 $e(E)=0$。

对复线 $L$ 的底层定向实平面丛，式(2)与 $c_1(L)$ 相同。可先在 $\mathcal{O}(1)\to {\mathbb{CP}}^1$ 上核对：线性函数 $z_0$ 在典范线上的限制是一截面，只在 $[0:1]$ 为零；局部坐标 $u=z_0/z_1$ 中，截面就是 $u$，局部度数为 $+1$。以该截面拉回 Thom 类并用切除公理库切除定理Excision theorem在适当内部包含条件下，从空间对中同时删去一块不会改变相对同调。局部化到唯一零点，得到Euler数 $+1$。再利用复线分类、自然性以及 $H^2({\mathbb{CP}}^N;\mathbb{Z})\to H^2({\mathbb{CP}}^1;\mathbb{Z})$ 的同构，就得到任意有限CW底上的结论。这同时接上曲面上Euler类公理库定向平面丛的 Euler 类Euler class · Euler class of an oriented plane bundle · 欧拉类在闭定向曲面上用边界绕数构造定向秩二实丛的整数 Euler 类，证明选择无关，并把它与度量联络的曲率积分及球面拼接整数直接对应。的绕数符号。