嵌入的 Gysin 映射

普通拉回 $i^{\ast }$ 是把环境中的类限制到子流形，次数不变。$i_{!}$ 则先把子流形中的类沿法方向加厚，再放回环境，因此次数增加余维。

$U_{\nu }$ 记录穿过 $N$ 的法向检测。特别地，$i_{!}(1)$ 是整个子流形在环境上同调中留下的类。把它再次限制回 $N$，检测的是 $N$ 与自己的微小推移怎样相交；法丛的Euler类正好控制这种自交。

CP1作为CP2的超平面 ​

设

环境与子流形都取复定向。记 $h=c_1({\mathcal{O}}_{{\mathbb{CP}}^2}(1))$，$a=i^{\ast }h$。上同调环为

在一条线 $\ell \subset {\mathbb{C}}^2$ 处，环境切空间是 $\mathrm{Hom}(\ell ,{\mathbb{C}}^3/\ell )$，子流形切空间是 $\mathrm{Hom}(\ell ,{\mathbb{C}}^2/\ell )$。两者相除得到

所以 $\nu \cong \mathcal{O}(1)$，由Thom页的符号核对，$e(\nu )=a$。

设 $i_{!}(1)=mh$。自交公式给出 $ma=a$，故 $m=1$。再用投影公式，

于是超平面的自交数是 ${\int }_{{\mathbb{CP}}^1}a=1$，也等于 ${\int }_{{\mathbb{CP}}^2}{h}^2$。这些等式同时核对了余维2、法丛的正负号和积分归一化。

图中两条路径都把 $1$ 送到 $a$：先推前再限制，与直接乘法丛Euler类相同。所有上同调均取整数系数。

不能把推前当作拉回的逆 ​

式(3)中 $i_{!}$ 把次数0送到2，把次数2送到4；$i^{\ast }$ 却保持次数，并把 $h^2$ 送到零。自交公式也明示 $i^{\ast }{i}_{!}$ 是乘Euler类，一般不会是恒等映射。

若法丛没有整数定向，未加条件的整数 $i_{!}$ 就不能这样定义。模2系数始终可用；若要保留整数信息，则须引入相应的局部系数。

两条公式如何从定义读出 ​

在管状邻域中，包含映射与“投影到 $N$ 再由 $i$ 包含”同伦。因此环境类 $\beta$ 的限制等于 ${\pi }^{\ast }{i}^{\ast }\beta$。以杯积公理库杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。乘Thom类后，

切除与忘掉相对部分都保持这项乘法，投影公式随即成立。

把 $i_{!}(\alpha )$ 拉回 $N$，在管状邻域中就是沿零截面拉回 ${\pi }^{\ast }\alpha ⌣U_{\nu }$ 的绝对像。第一因子变为 $\alpha$，第二因子按定义变为 $e(\nu )$，这证明自交公式。

与Poincaré对偶和积分的联系 ​

当 $M,N$ 均取相容定向、以整数系数计算时，局部定向圆盘中的Thom生成元积分为1。先沿法向圆盘积分，再沿 $N$ 积分，可得

只要两边处于顶次数。这也是与Poincaré对偶公理库Poincaré 对偶与 cap 积Poincare duality · Poincaré duality · Cap product · 庞加莱对偶 · cap 积在有限定向组合闭流形上构造带符号的对偶胞腔，用末顶点映射证明所得同构就是与基本类的cap积，并在环面上算出整数交配矩阵。相容的推前描述：$i_{!}$ 对应同调中把 $N$ 的循环包含进 $M$。尤其 $i_{!}(1)$ 是基本类 $i_{\ast }[N]$ 的对偶。Thom构造解释了这个对偶为什么由法方向产生，而不只是一条抽象同构。