Chern 特征

总Chern类把直和对应为乘法：把两组根拼起来，就把两个乘积 $\prod (1+x_i)$ 相乘。Chern特征改用指数求和，把“拼根”变成相加。

张量积的根是所有 $x_i+y_j$，而 $e^{x_i+y_j}=e^{x_i}{e}^{y_j}$，所以它又把张量积变成乘法。这个转换适合做有理计算，但不是把丛压缩成一个仍能识别所有细节的完整编码。

CP2上的半整数系数 ​

在 $X={\mathbb{CP}}^2$ 上令 $h=c_1(\mathcal{O}(1))$，取 $E=\mathcal{O}(2)\oplus \mathcal{O}(-1)$。由于 $h^3=0$，

用 $c_1(E)=h$、$c_2(E)=-2h^2$ 代入式(2)，再次得到 ${\mathrm{ch}}_2(E)=5h^2/2$。这不是整数Chern类算错了，而是Chern特征本来就以有理系数取值。

RP2上确实存在被有理化藏掉的线丛 ​

令 $\gamma \to {\mathbb{RP}}^2$ 为典范实线，$L=\gamma {\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$。记 $a=w_1(\gamma )\in H^1({\mathbb{RP}}^2;{\mathbb{F}}_2)$。下面直接核验

其中 $\beta$ 是系数短正合列 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}\to {\mathbb{F}}_2\to 0$ 的连接映射。

先用胞腔链复形公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。计算。${\mathbb{RP}}^2$ 在次数0、1、2各有一个胞腔，整数边界 $d_2=2,d_1=0$。故上链微分 ${\delta }^1=2$，给出 $H^1(-;\mathbb{Z})=0$、$H^2(-;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2$。把模2的1上链生成元 $a$ 提升为整数上链 $A=1$，则 $\delta A=2$。连接映射的定义正是

所以它非零。

再核对这个类确实是 $c_1(L)$。在好覆盖上，实线的单位过渡函数写成 $(-1{)}^{{\epsilon }_{ij}}$，其中 ${\epsilon }_{ij}\in \{0,1\}$ 是代表 $a$ 的模2的Čech1上闭链。复化线有相同的单位复数过渡函数。选择实对数 ${\epsilon }_{ij}/2$，三重交集上的整数障碍就是

这同时是 $\beta (a)$ 的Čech表示公理库Čech 上同调Čech cohomology · Cech cohomology以圆周两弧的两个接缝算出整数粘合障碍，定义固定覆盖的Čech复形并说明比较定理的条件。与复线的第一Chern上闭链。后一描述与分类定义的归一化一致：在球面两张图的接缝上，它计算单位圆过渡函数的绕数，$\mathcal{O}(1)$ 给出 $+1$；自然性遂确定一般复线的类。式(4)也与实线的方向障碍公理库Stiefel–Whitney 类Stiefel–Whitney classes · Total Stiefel–Whitney class用实射影丛关系构造模2特征类，证明Whitney公式，计算RP2切丛并展示TS2的偶数信息如何丢失。相连，而不只是凭名称认出一个挠元。

于是 $L$ 不是平凡复线，但有理化后 $c_1(L)$ 为零，故 $\mathrm{ch}(L)=1$，与平凡复线完全相同。

为什么两条运算公式成立 ​

同时拉到使 $E,F$ 分裂的旗丛上；有理上同调拉回仍单射。若根分别为 $x_i,y_j$，直和的根就是两组合并，立即给出式(3)第一条。张量积为各条线张量积的直和，根为 $x_i+y_j$，于是

由杯积公理库杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。构成的这个等式在底空间成立，因为拉回单射。有限维保证这里的形式运算逐次都是有限和。

单元任务：整数、模2、有理与自交的联合核对 ​

在 $X={\mathbb{CP}}^2$ 上取 $E=\mathcal{O}(2)\oplus \mathcal{O}(-1)$，令 $i:{\mathbb{CP}}^1\hookrightarrow X$ 为超平面。记 $h=c_1(\mathcal{O}(1))$、$a=i^{\ast }h$、$\overline{h}$ 为模2约化。完成以下工作：

1. 计算 $c(E)$、$w(E_{\mathbb{R}})$、$p(E_{\mathbb{R}})$ 与 $\mathrm{ch}(E)$，并解释它们的系数为何不同。
2. 证明 $E$ 没有处处非零截面。
3. 用法丛计算 $i_{!}(1)$、$i_{!}(a)$ 与超平面自交数。
4. 对上面的 $L\to {\mathbb{RP}}^2$，说明 $\mathrm{ch}(L)=1$ 为什么不能推出 $L$ 平凡，并给出非零整数类的具体上链证书。

完整解答。 两个Chern根是 $2h,-h$，所以

实化关系给出 $w_{2j}=\rho c_j$、奇次 $w$ 为零，因此

由Pontryagin计算公理库Pontryagin 类Pontryagin classes通过复化定义实丛的整数Pontryagin类，计算复丛实化，并分清Whitney公式中的2挠边界。，

指数求和则为 $\mathrm{ch}(E)=2+h+5h^2/2$。这里Chern类和Pontryagin类为整数类，Stiefel–Whitney类使用模2系数，而Chern特征使用有理系数；$-2h^2$ 模2归零与 $5h^2/2$ 的分母各有明确来源。

由于 $c_2(E)=-2h^2\ne 0$，顶Chern类的截面障碍排除处处非零截面。这个结论是必要条件的逆否运用，没有声称顶类为零便一定存在截面。

法丛为 $\mathcal{O}(1)$，Euler类为 $a$。Gysin自交公式公理库嵌入的 Gysin 映射Gysin map for an embedding · Cohomological pushforward for an embedding用法丛Thom类定义嵌入的Gysin映射，证明投影与自交公式，并计算CP1在CP2中的推前。给出 $i^{\ast }{i}_{!}(1)=a$，而 $i^{\ast }:H^2(X;\mathbb{Z})\to H^2({\mathbb{CP}}^1;\mathbb{Z})$ 是同构，所以 $i_{!}(1)=h$。投影公式给出 $i_{!}(a)=h^2$，自交数为1。

最后，$L$ 的 $c_1$ 是 $\beta (a)=[1]\in \mathbb{Z}/2$；具体证书是整数胞腔1上链 $A=1$，满足 $\delta A=2$，除以2所得2上闭链代表整数上同调 $H^2({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2$ 中的非零类。这个非零整数挠类证明 $L$ 不平凡，却在有理上同调中消失。

验收标准。 四套特征类应同时正确；必须展示至少一次独立核对，例如 $p_1=c_1^2-2c_2$ 或 ${\mathrm{ch}}_2=(c_1^2-2c_2)/2$；Gysin计算须识别法丛而非只猜次数；RP2部分必须写出 $\delta A/2$ 证书，并区分整数非零与有理为零。