特征类的分裂原理

直接在原空间选一条子线，可能处处选不一致。旗丛把“选择”也放进底点：在每个原底点上，允许全部旗作为新的底点，于是新空间上确实存在典范子线。

代价是底空间变大，但射影丛的自由模基公理库射影丛的上同调定理Projective bundle theorem · Cohomology of a projective bundle由复线分类先构造射影丛的二次类，再证明Leray–Hirsch自由模基和唯一首一关系，避免Chern构造循环。保证上同调拉回单射。这样在大空间验证的、只涉及原丛特征类的等式，可以可靠地下推为原空间中的等式。

秩二丛与一条线的张量积 ​

设 $E$ 秩为2，$L$ 为线丛，记 $\ell =c_1(L)$。拉到分裂空间后，$E$ 的根为 $x_1,x_2$，而 $E\otimes L$ 的根为 $x_1+\ell ,x_2+\ell$。因此

右侧是原空间中已有的类，拉回单射使旗丛上展开所得等式在 $X$ 上也成立。

以 $X={\mathbb{CP}}^2$、$E=\mathcal{O}(2)\oplus \mathcal{O}(-1)$、$L=\mathcal{O}(-1)$ 为例，已知 $c_1(E)=h,c_2(E)=-2h^2,\ell =-h$。式 (1) 得

直接张量也给 $E\otimes L=\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(-2)$，总类 $(1+h)(1-2h)=1-h-2h^2$，与公式一致。

形式根不是原空间中的任选平方根 ​

已知 $c_1,c_2$，可以形式地写 $T^2-c_{1}T+c_2=(T-x_1)(T-x_2)$，但不代表原上同调环内存在两个根。分裂原理做的是构造一个拉回仍忠实的新空间，使这些根有真实线丛来源。

若只把系数换到某个失去信息的环，或沿任意映射拉回，等式就未必能返回原空间。例如拉到一点后，所有正次数类都为零，任何两个不相等的正次类也会变得相同。这里不可省略的是单射性，而非仅仅“拉回后好算”。

逐次射影化构造旗丛并证明单射 ​

秩为零时取 $F(E)=X$ 并使用空直和；秩为一时同样取恒等投影，丛本身已经是线丛。以下设 $r\ge 2$。第一步取 $X_1=\mathbb{P}(E)$。$p_1^{\ast }E$ 含典范子线 $L_1$，选度量得到

射影丛定理说 $H^{\ast }(X_1)$ 是 $H^{\ast }(X)$ 上以 $1,u,\dots ,u^{r-1}$ 为基的自由模。$p_1^{\ast }$ 的像就是基向量1对应的系数位置，所以 $p_1^{\ast }$ 单射。

若余下秩仍大于1，再取 $X_2=\mathbb{P}(E_1)$，从拉回 $E_1$ 中分出 $L_2$，剩余秩再减1。从第一步算起，总共进行 $r-1$ 次射影化。各级底空间均为紧 Hausdorff 空间，适用射影丛定理的相应版本；每步上同调拉回单射，复合仍单射，最终全部分成线。几何上这一串选择等价于在原纤维中选完整旗；所选度量提供直和实现，不改变各线商的同构类型。

实情形将每步换成实射影化，使用实射影丛的模2自由基公理库Stiefel–Whitney 类Stiefel–Whitney classes · Total Stiefel–Whitney class用实射影丛关系构造模2特征类，证明Whitney公式，计算RP2切丛并展示TS2的偶数信息如何丢失。，相同论证给模2单射。不能由此声称实旗丛拉回在整数上同调中也总单射。

现在证明一般Chern的Whitney公式 ​

对复丛 $E,F$，先拉到 $E$ 的旗丛使 $E$ 分裂，再在这个空间上取拉回 $F$ 的旗丛。两次复合的上同调拉回仍单射，且两丛现在同时分裂。

设其根分别为 $x_i,y_j$。此前已分裂丛的Chern公式公理库Chern 类Chern classes · Total Chern class由射影丛的唯一首一关系定义Chern类，非循环地证明直和线丛公式，并计算CP2上的负顶类及截面障碍。给

在分裂空间上成立。两边都是原空间类的拉回，故单射性证明原空间中的同一公式。这完成前页留下的高秩乘法结论，未反过来用于证明自由模基。

对称表达式为何能回到Chern类 ​

根的编号来自所选旗，不应进入原丛的不变量。对称多项式基本定理公理库对称多项式与 Newton 恒等式Symmetric polynomial · Elementary symmetric polynomial · Newton identities · 基本对称多项式 · 牛顿恒等式证明每个对称多项式唯一由基本对称式表示，并用 Newton 恒等式在根的幂和与首一多项式系数之间计算。将根的任意对称多项式写成基本对称式的多项式，而基本对称式就是各阶 $c_i(E)$。

例如

左式便于计算，右式才直接使用原空间上定义好的类。对于 $E\otimes F$，根是全部 $x_i+y_j$；对于对偶，根是 $-x_i$；对于外幂，根由相应不同指标之和给出。每次均先在分裂空间作线丛运算，再靠单射性返回。

底层实丛的模2类 ​

对复线，前页已证明 $w(L_{\mathbb{R}})=1+{\rho }_2{c}_1(L)$。复旗丛的拉回在模2上也单射，故对任意复丛，把线丛公式相乘后得到

这不仅因为复丛可定向而使 $w_1$ 为零，还说明所有奇数阶Stiefel–Whitney类都消失。偶数整数信息则可能在模2后被抹掉，必须与整数Chern类分开保留。

自检式 (1) 时，先列新根，再展开，再把对称式换回 $c_1,c_2$，最后明确指出单射性；四步缺少任何一步，都会把“形式计算”与原空间上的等式混淆。