射影丛的上同调定理

每条纤维的上同调都有一份简单基，但这些纤维基能否在整个丛上同时选择，并非自动成立。这里的典范子线提供了一个全局二次类 $u$，使其幂在每条纤维上都给出同一组基。

这让底空间上的类可以逐项乘上 $1,u,\dots ,u^{r-1}$，产生总空间中的全部类。它先确定的是加法与模结构；$u^r$ 怎样化成低次幂，才继续记录乘法中的丛扭曲。

为什么选典范对偶线得到正生成元 ​

复射影空间有上同调环

它的CW分解在每个偶数维度0到 $2m$ 恰有一个胞腔，给出各偶次群为 $\mathbb{Z}$；杯积计算还说明 $h^j$ 就是各次生成元。可通过互补维数的坐标射影子空间在一个正向点相交来核验乘法；所引 Hatcher Theorem3.19 给出相应相对杯积证明。

典范线 ${\gamma }_1$ 的式 (1) 为 $-h$。复共轭映射 $c:[z]\mapsto [\overline{z}]$ 拉回典范线得到其共轭线，选择Hermitian度量后与对偶线同构。$c$ 在 ${\mathbb{CP}}^1$ 上反转复定向，所以 $c^{\ast }h=-h$，于是

因此 $S^{\ast }$ 限制到每个纤维上的式 (1) 正好是式 (3) 的正生成元，$1,u,\dots ,u^{r-1}$ 在该纤维上确实构成基。

平凡秩二丛的完整环 ​

令 $X={\mathbb{CP}}^1$，$E=X\times {\mathbb{C}}^2$。这时

记第一因子的正生成元拉回为 $a$，第二因子的为 $u$。由杯积公理库杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。及乘积公式，

因此 $H^0=\mathbb{Z}$，$H^2=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}u$，$H^4=\mathbb{Z}(au)$，其余正次群为零。作为 $\mathbb{Z}[a]/(a^2)$-模，它正好有基 $1,u$。$a$ 限制到纤维为0，$u$ 限制为生成元；两类不能互换来源而不说明投影。

纤维上的零关系未必在整体仍为零 ​

秩1时 $\mathbb{P}(E)=X$，典范子线就是 $E$，基只剩1。但 $u=\lambda (E^{\ast })$ 可以非零：取 $E={\gamma }_1$ 在 ${\mathbb{CP}}^1$ 上，便有 $u=h$。

每条纤维此时只是一个点，$u$ 的纤维限制为零，却不妨碍它在整体非零。所以不能从纤维中 $h^r=0$ 直接推出总空间中 $u^r=0$。式 (2) 并未声称总空间的环一定是底空间环与纤维环的张量积。

Leray–Hirsch机制：全局纤维基消除差分 ​

Leray–Hirsch定理的相关形式说：纤维上同调逐次为有限生成自由 $R$-模，且有总空间中的类在每条纤维上限制为一组基时，像式 (2) 那样的乘积映射是模同构。下面用Serre上同调谱序列公理库Serre 谱序列Serre spectral sequence · Leray–Serre spectral sequence从底空间带纤维局部系数的同调逐页逼近总空间同调，并以过滤解释极限项。说明本例为何满足它，并处理最终过滤问题。

$G{L}_r(\mathbb{C})$ 路径连通，所以纤维传输作用在式 (3) 上为恒等；也可直接由全局 $u^i$ 限制成一组基看出局部系数系统平凡。第二页为

奇数纤维次数为零。纤维类 $u^i{|}_{p^{-1}(x)}$ 已来自总空间类，故是永久循环。底行的类沿投影拉回；利用乘法，每个第二页类都是底行类与某个纤维基类的积。

由乘法微分法则，若前面各页微分为零，则当前页每个这样的乘积微分也为零：底行没有向负纤维次数的出射，纤维基类由全局类保证永久。于是逐页归纳，全部差分消失。

还不能只把最终页直接相加。映射 $\mathrm{\Phi }$ 本身给出了所需提升：给源按底空间次数过滤，它在相关分次上正是上述第二页基同构。每个总次数的过滤有限，一个保持过滤、在全部相邻商上为同构的映射，可沿过滤用短正合列逐层证明为同构。因此没有未处理的加法扩张，式 (2) 成立。

紧 Hausdorff 底空间与逐次射影化 ​

式 (2) 也适用于紧 Hausdorff 底空间上的复向量丛。可直接取有限平凡化开覆盖：在每个开集及其子集上，纤维 ${\mathbb{CP}}^{r-1}$ 的有限自由上同调基给出乘积的 Künneth 同构。全局类 $1,u,\dots ,u^{r-1}$ 在这个局部乘积中的表达，相对纤维次数排序后是对角元为1的三角变换，因为它们限制到每条纤维正是对应的幂基。因此式 (2) 定义的映射本身也是局部模同构。归纳加入一张平凡化开集时，交集仍位于该平凡化内。将小链序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。对偶为奇异上同调序列，基乘映射与限制及连接箭头相容，五引理便将同构粘到并集。有限归纳不要求这些开集可缩，也不要求底空间本身有光滑结构。

这个版本使分裂原理中的迭代有明确依据：紧 Hausdorff 底上的射影丛仍紧 Hausdorff，因为纤维是紧射影空间且局部平凡。每一级都可再次应用本段结论，无须未经证明地把射影丛总空间当作给定的有限 CW 复形。实射影丛取模2系数时，同样的有限自由纤维基与粘合证明也成立。

唯一的高次关系为特征类铺路 ​

由模基，$u^r$ 可唯一写成低次幂的组合，故存在唯一

使

每个系数的次数由总次数 $2r$ 决定。由于式 (4) 首一，任意更高次多项式都可约化为低于 $r$ 次；式 (2) 的唯一性又保证没有额外低次关系。因此它连同底空间环给出总空间环的完整呈示。

后续Chern类公理库Chern 类Chern classes · Total Chern class由射影丛的唯一首一关系定义Chern类，非循环地证明直和线丛公式，并计算CP2上的负顶类及截面障碍。把这些唯一系数识别为 $c_i(E)$。逻辑次序是先用复线分类取得 $u$，再证明模基，最后由唯一关系定义高秩类，而不是先假定Chern类存在来证明本页定理。

自检：在平凡秩二例子中式 (4) 是 $u^2=0$，两个系数都为零；在秩1例子中式 (4) 是 $u-\lambda (E^{\ast })=0$。应能从这里核对后续 $c_1(E)=-\lambda (E^{\ast })=\lambda (E)$ 的符号，而不把子线与商线约定混用。