概形与结构层

素谱先说明哪里是点、哪些点在同一个开集里。结构层继续记录每个区域允许使用什么函数，缩小区域后允许增加哪些分母。点处的茎把附近的函数统一收集成一个局部环。

在经典坐标图中，换坐标不应改变几何对象。概形采取同样的做法，但图表是环的素谱，过渡映射必须同时识别点和正则函数。幂零元、非代数闭域上的点和整数素数处的局部信息，都保留在这些环里。

主开集的包含怎样给出限制映射 ​

若 $D(g)\subseteq D(f)$，则 $V(f)\subseteq V(g)$，所以 $g$ 属于理想 $(f)$ 的根。存在 $N\ge 1$、$a\in R$ 使

因此 $f$ 在 $R_g$ 中的逆为 $a/g^N$，局部化的泛性质给出唯一同态

它与进一步限制相容。若 $D(f)=D(g)$，双向构造互为逆，所以给主开集配环不依赖选用哪个定义元素。

任意主开覆盖

都有有限子覆盖。否则由全部 $f_i$ 生成的理想为真，取一个包含它的极大理想，就得到不在任何 $D(f_i)$ 中的点，矛盾。因此 $1$ 是有限个 $f_i$ 的线性组合，这几个主开集已经覆盖全谱。一般的开覆盖先细化成主开覆盖即可。把 $R$ 换成 $R_f$，同一论证说明每个 $D(f)$ 也有这种有限覆盖性质，不要求 $R$ Noether。

双数：相同的一个点，不同的结构层 ​

设 $k$ 为任意域，取双数环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。

以下仍用 $\epsilon$ 记商中的类。所有素理想都包含幂零元 $\epsilon$；而 $R/(\epsilon )=k$ 是域，所以唯一素理想为

故 $\mathrm{Spec}R$ 与 $\mathrm{Spec}k$ 的底层拓扑空间都是一个点。

但 $a+b\epsilon$ 可逆当且仅当 $a\ne 0$；此时

所以 $R$ 本身是局部环，局部化 $R_{\mathfrak{m}}=R$，并有

茎里仍有非零的 $\epsilon$，而剩余域中的点值把它送到零。$R$ 与 $k$ 不可能同构，因为前者有非零幂零元，后者没有。因此这两个单点概形并不同构。

在该环中，一阶变化可以直接计算：

二项式展开中所有含 ${\epsilon }^2$ 的项消失，故此式在任意特征都成立，不需要除以阶乘。结构层保留的正是这种点值之外的代数信息；约化化公理库幂零根Nilradical由环中全部幂零元组成、也等于所有素理想之交的规范理想。把它删除，却不改变底层素谱拓扑。

局部正则不等于一个全局多项式 ​

在 $\mathrm{Spec}k[t]$ 的 $D(t)$ 上，$1/t$ 是合法截面，因为 $t$ 已可逆。但它不能延伸为整条仿射线上的截面：若存在 $h(t)\in k[t]$ 在 $k[t,t^{-1}]$ 中等于 $1/t$，则 $th=1$，与多项式次数或在 $t=0$ 求值矛盾。

这种延伸障碍不违反层公理。层只保证已经在覆盖各片上给出、并在重叠区一致的截面可以粘合，不保证任意一个开集上的截面都能延伸到更大开集。

清分母证明主开覆盖上的唯一粘合 ​

设 $f_1,\dots ,f_r$ 生成单位理想，给定 $s_i\in R_{f_i}$，且其像在每个 $R_{f_i{f}_j}$ 中相同。我们直接构造唯一的 $s\in R$。

先证唯一性。若 $x\in R$ 在每个 $R_{f_i}$ 中都为零，则存在共同的 $N$ 使 $f_i^{N}x=0$ 对所有 $i$ 成立。理想 $(f_1^N,\dots ,f_r^N)$ 仍是全环：包含它的素理想会包含每个 $f_i$，不可能包含 $1$。因此可写

乘以 $x$ 得 $x=0$。两份粘合元素之差即属此情形。

再证存在性。选共同的 $n$，使每个 $s_i$ 能写成 $a_i/f_i^n$，其中 $a_i\in R$。在 $R_{f_j}$ 中，元素

进一步局部化到 $R_{f_i{f}_j}$ 后为零，故被某个 $f_i$ 的幂消去。有限多个 $(i,j)$ 允许取共同的 $m\ge n$，使

选择 $c_i\in R$ 满足 $\sum _i{c}_i{f}_i^m=1$，令

那么在 $R_{f_j}$ 中，

这就是所求粘合。论证保留了局部化中“某个分母幂消去差”的条件，因此即使 $R$ 有零因子也成立。

对 $D(f)$ 的有限主开覆盖，在环 $R_f$ 中使用同一证明。对任意主开覆盖，先取有限子覆盖粘合；所得截面与其他片上的给定截面在有限个重叠区一致，由唯一性可知它们在整片上一致。因此主开基上的层条件全部成立。

由层页的基扩张构造，得到整空间上的 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}R}$。因为全空间是 $D(1)$，其截面环为 $R_1=R$；空集为 $D(0)$，对应零环，符合空覆盖条件。

从主开截面算出茎 ​

每个含 $\mathfrak{p}$ 的邻域都含某个 $D(f)$，其中 $f\notin \mathfrak{p}$。所以一个茎元素可用 $R_f$ 中的分式 $a/f^n$ 表示，并自然映入 $R_{\mathfrak{p}}$。

这个映射满射：任意 $a/s\in R_{\mathfrak{p}}$ 都可在邻域 $D(s)$ 上用同一分式表示。它也单射：若 $a/f^n$ 在 $R_{\mathfrak{p}}$ 中为零，则存在 $u\notin \mathfrak{p}$ 使 $ua=0$。在更小邻域 $D(fu)$ 上，$u$ 已可逆，所以该分式为零，其芽便是零。故

茎的加乘由共同邻域上的分式运算给出，上式是环同构。$R_{\mathfrak{p}}$ 为局部环，仿射谱因此确实是局部环空间。

两张仿射片怎样粘成射影直线 ​

取

在开子概形 $D(t)$ 与 $D(u)$ 上，用环同构

诱导的反向点映射识别它们。所得空间记为 ${\mathbb{P}}_k^1$。

具体地，先对 $U_0\bigsqcup U_{\mathrm{\infty }}$ 按该识别取商；一个子集开，当且仅当在两张片中的逆像都开。因为识别发生在开子集上，两张片各自成为商空间中的开子空间，且不在各自重叠区的两个点

保留为不同的点。

对任意开集 $V\subseteq {\mathbb{P}}_k^1$，定义 $\mathcal{O}(V)$ 为两片上截面的兼容对：

这里重叠上的等号按上述环同构解释。限制逐分量进行；局部截面先在各片上粘合，重叠一致性由唯一性保持，所以得到环层。若 $V$ 完全位于一张片中，另一分量由第一分量在重叠上的限制唯一决定，故新层限制到每张片正是原结构层。各点的茎因而仍是所在仿射片的局部环，证明这个粘合空间确实是概形。

对于 $k$ 值点，两张片分别对应齐次坐标 $[1:t]$ 与 $[u:1]$，重叠关系正是 $u=1/t$，与射影空间公理库射影空间Projective space把非零向量按非零标量倍数关系取商所得的直线空间。的坐标比值一致。但概形还包含泛点以及可能有更大剩余域的闭点，不能把全部概形点直接等同于齐次 $k$ 坐标的集合。

求出射影直线的全部全局截面 ​

图中圆点表示该次数允许非零系数，短横表示系数必须为零；红框是两行共同允许的零次幂。指数栏只画出有限窗口，两端省略号表示继续的次数。

由两片粘合定义，全局截面恰是

中满足

的配对。Laurent 单项式 $\{t^n:n\in \mathbb{Z}\}$ 线性无关；左侧只含非负次幂，右侧只含非正次幂。因此两侧都只能是同一个常数，得到

例如局部坐标 $t$ 若是全局截面，在另一张片上必须写成 $u^{-1}$，而它在 $\mathrm{\infty }=(u)$ 处不是正则函数，所以不能粘成全局截面。

这也证明 ${\mathbb{P}}_k^1$ 非仿射。若它同构于 $\mathrm{Spec}A$，则其全局截面给出 $A\cong k$，于是底层空间只有一个点；但已构造出不同的 $0$ 与 $\mathrm{\infty }$，矛盾。每点附近都仿射，并不意味着可以从一个全局函数环的素谱恢复整个空间。