幂零根

幂零元不是立即等于零，却在有限次自乘后消失。它像代数结构中的“无穷小厚度”：单独观察时可以非零，但任何域值点都把它送到零，因为域没有非零幂零元。幂零根把环中所有这种不可由普通点辨认的方向集中到一个规范理想里；除掉它，底层点集不变，却把非约化厚度抹平。

所有素理想之交的公式也解释了怎样检测非幂零元。若 $x$ 不是幂零元，则乘法集 $\{1,x,x^2,\dots \}$ 不含零；可找到一个与它不交的素理想 $\mathfrak{p}$。于是 $x$ 在整环 $R/\mathfrak{p}$ 中非零，也在它的分式域中非零，至少有一个域值点能够分辨 $x$ 与零。

设 $k$ 为域。在截断多项式环

中，每个元素唯一写成 $a+b\overline{\epsilon }+c{\overline{\epsilon }}^2$。若 $a\ne 0$，把元素写成 $a(1+u)$，其中 $u^3=0$，则逆元为 $a^{-1}(1-u+u^2)$；若 $a=0$，元素的三次方为零。因此

谱只有一个素理想 $(\overline{\epsilon })$，而原环还保留 $\overline{\epsilon }$、${\overline{\epsilon }}^2$ 两个非零方向。另取 $R=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$，幂零元恰为 $\overline{0},\overline{6}$：某次幂被 $12$ 整除，要求原整数同时被 $2$ 和 $3$ 整除。于是 $\mathrm{Nil}(R)=(\overline{6})$，且 ${\overline{6}}^2=\overline{0}$。

约化环也可以有零因子。例如 $(xy)=(x)\cap (y)$ 是两个素理想之交，所以 $k[x,y]/(xy)$ 的幂零根为零；但其中 $\overline{x}\overline{y}=0$，两个因子都非零。幂零性要求同一元素反复相乘后消失，零因子关系则可以由不同元素配合产生。

Jacobson 根取所有极大理想之交，也与幂零根有区别。形式幂级数环理路形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。 $k[[t]]$ 是整环，幂零根为零；它只有一个极大理想 $(t)$，所以 Jacobson 根是非零的 $(t)$。有限直积的幂零根则按坐标计算：

若两个坐标分别在第 $m,n$ 次幂后为零，取 $max(m,n)$ 次幂便能同时使它们为零。

幂零根给出约化化 $R_{\mathrm{red}}=R/\mathrm{Nil}(R)$。规范映射诱导的素谱映射是底层拓扑空间的同胚：$R$ 与 $R_{\mathrm{red}}$ 有完全相同的素理想点和 Zariski 闭集。差别只在结构层或坐标环中，因此只研究点集会漏掉切向厚度、交点重数与无穷小变形。概形与结构层理路概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。以双数为最小实例，算出单点处的茎仍为整个双数环，而剩余域已经把非零平方零元删去。

对任意乘法闭集 $S$，局部化理路环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。与幂零根相容：

幂零元的分式仍幂零，给出 $S^{-1}\mathrm{Nil}(R)\subseteq \mathrm{Nil}(S^{-1}R)$。反向若 $(r/s{)}^n=0$，则某个 $u\in S$ 满足 $u{r}^n=0$，于是 $(ur{)}^n=u^{n-1}(u{r}^n)=0$。由 $r/s=(ur)/(us)$，这个分式也来自幂零根的局部化。

因此约化环的局部化仍约化。反过来，若 $R$ 有非零幂零元 $a$，选一个包含 $\mathrm{Ann}(a)$ 的极大理想 $\mathfrak{p}$；没有 $\mathfrak{p}$ 外的元素能消去 $a$，所以 $a/1$ 在 $R_{\mathfrak{p}}$ 中仍非零且幂零。这证明 $R$ 约化当且仅当所有 $R_{\mathfrak{p}}$ 都约化。