射影平面曲线的 Bézout 定理

“交于一个点”只说明商环的支撑在哪里，没有说明该点附近还保留多少阶幂零信息。商 $k[t]/(t^3)$ 只有一个点，却有三层 $1,t,t^2$；Bézout计入的正是这些层。

射影化还把无穷远处的交点纳入同一计数。只有同时保留全部射影点和局部长度，次数乘积才成为稳定的总数。

尖点与切线在一个点相交三次 ​

取尖点三次曲线

及直线 $D:Y=0$。代入后 $X^3=0$，所以唯一底层交点为 $P=[0:0:1]$。在 $Z\ne 0$ 图上取 $x=X/Z,y=Y/Z$，局部环公理库素理想处的局部化Localization at a prime ideal · Local ring at a prime把素理想之外的全部元素变为单位，从而只保留该点以下素理想信息的局部化。中的商为

它有 $k$-基 $1,x,x^2$，故 $I_P(C,D)=3=3\cdot 1$。也可写组成列

每个相邻商都是 $k$。

尖点本身的最低非零方程次数为2，却不意味着它与每条直线都相交两次。对直线 $x=0$，局部商是 $k[y{]}_{(y)}/(y^2)$，重数为2；对切线 $y=0$ 则为3。交重数依赖两条曲线的相对位置，不只是单条曲线的奇点重数。

无穷远处的三重交 ​

同一曲线与直线 $Z=0$ 只有交点 $Q=[0:1:0]$。在 $Y\ne 0$ 图上取 $u=X/Y,v=Z/Y$，方程为 $v=u^3$，而直线为 $v=0$。局部商仍为

长度3。$Q$ 在曲线上却是光滑点，因为这张曲线本身是 $u\mapsto (u,u^3)$ 的图。三重交不一定来自奇点，也可以来自光滑曲线与切线的高阶接触。

公共分量与非代数闭域 ​

若两方程含同一个直线因子，就沿整条直线相交，式 (1) 的商一般不再有限长，式 (2) 的有限求和不适用。不能把公共分量当作一个“特别重的点”。

若只数实点也会失败。实圆锥曲线 $X^2+Y^2+Z^2=0$ 与 $Z=0$ 没有实交点，但在复数域上有 $[1:i:0]$ 与 $[1:-i:0]$，各重数1，总数仍为2。一般底域下应作代数闭包基变换，或以剩余域次数加权闭点长度。

两条互素方程给出精确的关系复形 ​

令 $A=k[X,Y,Z]$、$Q=A/(F,G)$。有分次正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。

为什么中间没有额外关系？若 $Fu+Gv=0$，互素性与多项式环的唯一分解公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。保证 $F\mid v$，写 $v=Fh$，再得 $u=-Gh$。最左映射单射，因为 $A$ 是整环。这样式 (3) 的每个正合位置都已核验。

按次数取维数，并使用Hilbert多项式公理库Hilbert 函数与多项式Hilbert function · Hilbert polynomial证明标准分次代数的维数最终呈多项式增长，用扭三次与平面四次曲线读出维数、次数和算术亏格。，对足够大的 $m$ 得

所有含 $m$ 的项抵消。这个非零常数也说明交概形维数为0。

常数为什么等于局部长度之和 ​

还需把分次计算与式 (1) 接起来。交概形有限，且 $k$ 无限，可选一条不经过任何交点的直线；改齐次坐标后记为 $Z=0$。于是整个交概形落在 $D_{+}(Z)$，其坐标环是

这是有限维 $k$-代数。

把 $Q_m$ 通过 $h\mapsto h/Z^m$ 映入 $B$；这些映射组成乘 $Z$ 的直系统，其余极限公理库极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。正是 $B$。

由Hilbert 基定理公理库Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。及 Noether 模的子模有限性，$Z$-幂挠子模 $T\subset Q$ 有限生成，且其对应Proj层为零，因为交概形没有点落在 $Z=0$。对有限生成分次模，Proj层为零意味着足够高分量为零：有限个标准坐标覆盖上，每个生成元都被某次坐标幂消去，取共同界即可使某个 $A_{+}$ 的幂消去全部生成元。

因此乘 $Z:Q_m\to Q_{m+1}$ 在足够高次数单射；而两边维数都等于常数 $ab$，故最终为同构。这证明 ${\dim }_{k}B=ab$。

有限维交换代数由各极大理想的足够高次幂及中国剩余定理公理库环上的中国剩余定理Chinese remainder theorem for rings两两互素理想的交商与对应商环直积之间存在规范同构。，分解为局部 Artin 因子的乘积。这些因子就是交点的局部商环；每个简单因子的剩余域为 $k$，故

与前一步结合，完成式 (2) 的证明。总长度因而不是对图形相交点数的猜测，而是分次关系复形与局部组成长度共同给出的整数。

重数指引下一步几何变换 ​

尖点的切线接触把三阶信息压在同一个点。平面爆破公理库仿射平面的爆破Blowup of the affine plane · Blowup of the affine plane at the origin把原点替换成方向射影线，逐图计算尖点的总变换与严格变换，并证明光滑化后仍与例外曲线相切。会把这个点替换成方向空间，使严格变换可变光滑。但变光滑以后，它仍可能与例外曲线相切；还需继续用局部长度检查，不能把“消除曲线奇点”与“所有交叉均横截”混为一谈。