仿射平面的爆破

在非原点，位置本身已经决定从原点看过去的方向；到原点时方向不再由位置决定，爆破就把这一份方向信息留下来。

曲线趋近原点时的切向方向，变成其严格变换与例外曲线相遇的位置。不同切线可以因此分开；同一切线方向上的高阶接触却可能仍需继续处理。

两张图真正算出爆破空间 ​

在 $u\ne 0$ 图中令 $t=v/u$，式 (1) 变为 $y=xt$。该图的坐标环是

投影为 $(x,t)\mapsto (x,xt)$，例外曲线在这张图上为 $x=0$，其坐标 $t$ 记录有限斜率。

在 $v\ne 0$ 图中令 $s=u/v$，有 $x=sy$，坐标环为 $k[s,y]$。投影为 $(s,y)\mapsto (sy,y)$，例外曲线为 $y=0$。这一图还包含第一图漏掉的竖直方向 $[0:1]$。

重叠处

限制到例外曲线，只剩斜率坐标的倒数转换，因而两条仿射线粘为完整的 $E\cong {\mathbb{P}}^1$。仅使用第一张图并把所有方向写成 $y/x$，会遗漏一个方向。

尖点的总变换与严格变换 ​

考虑 $C:y^2=x^3$。在第一图代入 $y=xt$：

完整逆像的方程是式 (2)，称为总变换。它包含例外曲线 $x=0$ 的二重成分。

严格变换是 ${\pi }^{-1}(C\setminus \{0\})$ 的闭包。先在 $x\ne 0$ 处约去 $x^2$，再取闭包，得到

严格变换的坐标环为 $k[t]$，参数化为 $(x,t)=(t^2,t)$，再向平面投影为 $(x,y)=(t^2,t^3)$。它已经光滑，局部环也都是仿射直线的正则局部环公理库正则局部环Regular local ring比较极大理想的一阶生成元数与 Krull 维数来定义正则性；用抛物线和尖点计算嵌入维数，并说明基域条件。。

在第二图，总变换为 $y^2(1-s^{3}y)=0$，严格变换满足 $1-s^{3}y=0$。它不与该图的例外曲线 $y=0$ 相交，所以严格变换与 $E$ 的唯一交点确为第一图中的 $(x,t)=(0,0)$。

光滑以后仍没有横截 ​

式 (3) 在原点的线性项是 $-x$，所以严格变换的切线为 $x=0$，与例外曲线相同。更精确地，交点局部商为

组成长度公理库模的组成列与 Jordan–Hölder 定理Composition series of a module · Jordan–Hölder theorem for modules用两条不同组成列展示因子多重集不变，以子模交叉比较证明唯一性，并计算不分裂扩张的长度。为2。因此两条曲线相切，尚未形成普通横截的正规交叉。

这份一次爆破让尖点曲线自身变光滑，却没有让“严格变换与全部例外曲线的并”都变成正规交叉。若目标是后者，还必须继续考察后续爆破，不能在式 (3) 光滑时提前宣告完成。

图为实数点示意。右图纵坐标是 $t$，仅显示 $u\ne 0$ 的爆破图；箭头 $\pi$ 的方向为从爆破空间返回原平面。两张图的代数计算适用于任意底域。

为什么Rees代数得到相同图 ​

$U,V$ 分别送到 $xT,yT$，自然有关系 $xV-yU$。在 $U\ne 0$ 的Proj图上只取零次分式，$V/U$ 成为 $t$，关系化为 $xt-y=0$；在 $V\ne 0$ 图上得到 $sy-x=0$。因此Rees描述恢复了同一套两张图。

更一般的理想 $I=(a_1,\dots ,a_r)$ 的爆破也用 $\mathrm{Proj}⨁I^n{T}^n$ 定义。其 $a_{i}T$ 图由形如 $a_j/a_i$ 的比值生成，但若底环有零因子，单写 $a_i{t}_j-a_j$ 的商环可能还含多余的 $a_i$-幂挠元；不能把本页平面整环算例的简洁呈示无条件推广。

严格变换不是任意删掉一个因子 ​

在第一图中，严格变换的理想可写成

左边表示先作 $x$ 的局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。，再把理想收回原环；这正对应从原点之外的逆像取闭包。删掉 $x^2$ 的理由来自这个几何定义，而不是看到重因子就随意丢弃。

例如两条不同斜率直线 $y=ax$、$y=bx$，$a\ne b$，严格变换分别为 $t=a,t=b$。它们在例外曲线上相遇于不同点，所以原点处的两种方向被分开。尖点只有一条切线，因而只有一个例外方向出现，但二阶接触仍留在该点。

单元任务：从射影嵌入到尖点爆破 ​

任务。 先构造 ${\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^3$ 的三次Veronese嵌入，确定其全部像方程并计算Hilbert多项式。再对尖点三次曲线 $Y^{2}Z=X^3$，计算它与 $Y=0$ 的局部交重数。最后爆破仿射尖点原点，给出两张图上的总变换、严格变换，判断严格变换是否光滑以及与例外曲线是否横截。

题解一：像方程与增长。 映射为

像由 $z_0{z}_2-z_1^2$、$z_0{z}_3-z_1{z}_2$、$z_1{z}_3-z_2^2$ 三式定义。$z_0\ne 0$ 图中，令 $a=z_1/z_0$，则其余坐标为 $a^2,a^3$；$z_3\ne 0$ 图中反向读取 $s/t$。两图覆盖整个零点概形，因此没有遗漏分支。

其新次数 $m$ 分量是 $k[s,t{]}_{3m}$，基有 $3m+1$ 个，所以Hilbert函数在所有 $m\ge 0$ 就等于 $3m+1$，Hilbert多项式亦同。曲线维数1，嵌入次数3。这里从第一项起吻合是本例的性质，不能推广成任意Hilbert函数都从零次起多项式化。

题解二：交重数。 与 $Y=0$ 的唯一交点为 $[0:0:1]$，仿射局部商为 $k[x{]}_{(x)}/(x^3)$。其基 $1,x,x^2$ 给长度3，与Bézout公理库射影平面曲线的 Bézout 定理Bézout theorem for plane curves · Projective Bézout theorem以局部商环长度定义交重数，用分次正合复形证明平面Bézout，并计算尖点切线与无穷远的三重交。的 $3\cdot 1$ 相符。

题解三：两张爆破图。 第一图 $y=xt$ 给总变换 $x^2(t^2-x)=0$，严格变换 $x=t^2$。第二图 $x=sy$ 给总变换 $y^2(1-s^{3}y)=0$，严格变换 $1-s^{3}y=0$。第二图无例外交点，第一图的唯一例外交点为 $(0,0)$。

严格变换由参数 $t$ 自由描述，故光滑；但其与 $E:x=0$ 的局部商为 $k[t{]}_{(t)}/(t^2)$，交重数2，切线也同为 $x=0$。结论是曲线奇点已消去，例外相交尚未横截。

验收标准。 嵌入须给局部逆坐标，不能只把参数代入方程；Hilbert次数须按三次Veronese重新分次；交重数须给局部商基；爆破须覆盖两个方向图，保留总变换的例外重因子，并用切线或长度2的商说明为何仍相切。