Krull 维数 | Codeboy's Blog

形式陈述

交换含幺环 $R$ 的 Krull 维数定义为其素理想严格升链长度的上确界：

\dim R =\sup\left\{\,n: \mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots \subsetneq\mathfrak p_n,\qquad \mathfrak p_i\in\operatorname{Spec}R\,\right\}.

链中有 $n+1$ 个素理想，长度按 $n$ 次严格包含计算，所以单个素理想构成长度 $0$ 的链。若长度没有有限上界，则 $\dim R=\infty$ 。零环的素谱为空；这里取空集上确界的约定，记其维数为 $-\infty$ 。

素理想 $\mathfrak p$ 的高度定义为终止于 $\mathfrak p$ 的严格素理想链长度上确界：

\operatorname{ht}(\mathfrak p) =\sup\{\,n:\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\,\}.

于是 $\dim R=\sup_{\mathfrak p}\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ ，并且 $\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ 。

直觉

在几何中，可以沿“不可约曲面、其中的不可约曲线、曲线上的点”逐层取真闭子空间。不可约闭子集对应素理想，且包含方向相反，于是链

(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y) \qquad\text{于 }k[x,y]

对应“整个平面—直线—原点”的逐步特化。每增加一次严格包含，就增加一层独立的几何深度；Krull 维数把可出现的最长深度作为环的维数。

这个计数需要非极大素理想。闭点对应极大理想，而不同极大理想彼此不包含；若只数闭点对应的理想链，就只能得到长度 $0$ ，从而丢掉直线和平面这样的层次。

高度则把链的终点固定为 $\mathfrak p$ 。局部化 $R_{\mathfrak p}$ 的素理想，与 $R$ 中包含于 $\mathfrak p$ 的素理想一一对应，并保持包含关系。因此局部化保留了所有通向 $\mathfrak p$ 的链，局部环的维数正好等于 $\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ 。

例子与边界

域 $k$ 只有素理想 $(0)$ ，所以 $\dim k=0$ 。整数环有链

(0)\subsetneq(p),

且不存在更长素理想链，故 $\dim\mathbb Z=1$ 。域上的多项式环满足

\dim k[x_1,\ldots,x_n]=n.

下界由链

(0)\subsetneq(x_1)\subsetneq(x_1,x_2) \subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\ldots,x_n)

给出。上界使用多项式环的标准维数定理：域上 $n$ 元多项式环中的素理想严格链长度至多为 $n$ 。因此上述链已经达到最大长度。下文的 Noether 正规化会把这个维数结果推广到有限生成整代数。

商环 $k[x,y]/(xy)$ 虽有两个不可约分支，却仍是一维：其极小素理想为 $(\bar x)$ 与 $(\bar y)$ ，每条分支都可再特化到极大理想，例如

(\bar x)\subsetneq(\bar x,\bar y),

链长为 $1$ 。每条素理想链都包含在某个分支上，而两个分支的坐标环分别同构于 $k[y]$ 和 $k[x]$ ，所以也不存在更长的链。

Krull 维数与向量空间维数数的是不同对象。例如 $k[x]$ 的 $k$ -基为 $1,x,x^2,\ldots$ ，向量空间维数无限；它的素理想严格链最长只有一步，Krull 维数为 $1$ 。

Noether 性保证每条升链最终稳定，却不保证所有素理想链的长度有统一上界，因此存在无限维 Noether 环。对于 Noether 局部环，唯一极大理想的有限生成元个数给出了高度上界，所以维数有限；有限生成域代数也有有限维数。

推论与应用

Krull 主理想定理说明，在 Noether 环中，由一个元素生成的理想之上的极小素理想高度至多为 $1$ ；更一般地， $r$ 个元素生成的理想之上的极小素理想高度至多为 $r$ 。这把“方程数”与可能下降的维数联系起来，但只是上界，冗余方程或零因子会使实际高度更小。

对有限生成 $k$ -整代数 $A$ ，Noether 正规化给出多项式子环

k[y_1,\ldots,y_d]\subseteq A

且 $A$ 在其上整，从而 $\dim A=d$ ，这里 $d$ 也等于分式域 $\operatorname{Frac}(A)$ 在 $k$ 上的超越次数。整扩张中的上卧、升链与不可比较性质控制素理想链，使维数能够在基环与扩张环之间比较。因而 Krull 维数是把谱的拓扑链、环的素理想链和函数域的超越自由度统一起来的量。

几何维数不保证每个切割都无零因子障碍。模深度统计极大理想中正则序列的最大长度，并与模支撑维数比较； $k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$ 的维数为一，却因嵌入点而深度为零，展示两种维数测量的差别。

参考资料

M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chapter 11, dimension theory。
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986，Chapter 5, especially §13, dimension and principal ideal theorems。
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995，Chapters 8–10, dimension and normalization。
The Stacks Project Authors, The Stacks Project，2026 年访问版本，§10.60: Dimension 与 §110.16: A Noetherian ring of infinite dimension。

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