Krull 维数 | Codeboy's Blog

形式陈述

交换含幺环 $R$ 的 Krull 维数定义为其素理想严格升链长度的上确界：

\dim R =\sup\left\{\,n: \mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots \subsetneq\mathfrak p_n,\qquad \mathfrak p_i\in\operatorname{Spec}R\,\right\}.

链中有 $n+1$ 个素理想，却只有 $n$ 次严格包含，所以单个素理想构成长度 $0$ 的链。若长度没有有限上界，则 $\dim R=\infty$ 。对空的素谱，也就是零环，常约定 $\dim R=-\infty$ ；有些教材不为零环赋维数，使用时应说明约定。

素理想 $\mathfrak p$ 的高度定义为终止于 $\mathfrak p$ 的严格素理想链长度上确界：

\operatorname{ht}(\mathfrak p) =\sup\{\,n:\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\,\}.

于是 $\dim R=\sup_{\mathfrak p}\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ ，并且 $\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ 。

直觉

在几何中，一条曲线可以作为一个曲面的真闭子空间，而一个点又可作为曲线的真闭子空间。代数上闭子空间方向反转为素理想包含，于是链

(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y) \qquad\text{于 }k[x,y]

对应“整个平面—直线—原点”的逐步特化。每增加一次严格包含，就增加一层独立的几何深度；Krull 维数把可出现的最长深度作为环的维数。

非极大素理想在这里不可替代。若谱只保留闭点，所有闭点彼此通常不可比较，维数会错误地塌缩为零。高度是局部概念：它只数从泛点走到指定 $\mathfrak p$ 的路径。把环在 $\mathfrak p$ 处局部化后，恰好删去不在这条路径下方的素点，因此局部环维数等于该点高度。

例子与边界

域 $k$ 只有素理想 $(0)$ ，所以 $\dim k=0$ 。整数环有链

(0)\subsetneq(p),

且不存在更长素理想链，故 $\dim\mathbb Z=1$ 。域上的多项式环满足

\dim k[x_1,\ldots,x_n]=n.

下界由链

(0)\subsetneq(x_1)\subsetneq(x_1,x_2) \subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\ldots,x_n)

给出；上界则需要 Krull 主理想定理、Noether 正规化或维数理论，不能仅从“有 $n$ 个变量”凭直觉断言。

商环 $k[x,y]/(xy)$ 虽有两个不可约分支，却仍是一维：其极小素理想为 $(\bar x)$ 与 $(\bar y)$ ，每条分支都可再特化到极大理想，例如

(\bar x)\subsetneq(\bar x,\bar y),

链长为 $1$ 。维数不是向量空间维数，也不是生成元个数；有限域作为集合很大或很小都仍是零维，而 $k[x]$ 作为 $k$ -向量空间无限维却只有 Krull 维数 $1$ 。

Noether 性也不自动推出有限 Krull 维数：存在 Noether 环具有无限维数。有限生成域代数或许多几何来源的 Noether 环有有限维，但这依赖额外的有限型假设。

推论与应用

Krull 主理想定理说明，在 Noether 环中，由一个元素生成的理想之上的极小素理想高度至多为 $1$ ；更一般地， $r$ 个元素生成的理想之上的极小素理想高度至多为 $r$ 。这把“方程数”与可能下降的维数联系起来，但只是上界，冗余方程或零因子会使实际高度更小。

对有限生成 $k$ -整代数 $A$ ，Noether 正规化给出多项式子环

k[y_1,\ldots,y_d]\subseteq A

且 $A$ 在其上整，从而 $\dim A=d$ ，这里 $d$ 也等于分式域 $\operatorname{Frac}(A)$ 在 $k$ 上的超越次数。整扩张中的上卧与不可比较性质控制素理想链，使维数能够在基环与扩张环之间比较。因而 Krull 维数是把谱的拓扑链、环的素理想链和函数域的超越自由度统一起来的量。

参考资料

M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chapter 11, dimension theory。
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986，Chapter 5, especially §13, dimension and principal ideal theorems。
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995，Chapters 8–10, dimension and normalization。

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