Proj 上的扭转层

一张图上可以用某个非零一次坐标 $x_i$ 消去尺度。次数 $n$ 的齐次多项式 $F$ 除以 $x_i^n$ 成为这张图上的普通函数，但换图时分母改变，函数也要乘一个过渡因子。

扭转层把这个过渡因子保留下来。$F$ 不是处处独立于坐标缩放的函数，却是能够按规定换标架的线丛截面。

射影直线的全部扭转截面 ​

令 $S=k[X,Y]$，${\mathbb{P}}_k^1=\mathrm{Proj}S$。在 $U_0=D_{+}(X)$ 上取 $t=Y/X$，以 $e_0=X^n$ 为 $\mathcal{O}(n)$ 的标架；在 $U_{\mathrm{\infty }}=D_{+}(Y)$ 上取 $u=X/Y$，以 $e_{\mathrm{\infty }}=Y^n$ 为标架。负整数 $n$ 时，这些符号在相应局部化中解释。

交上 $u=t^{-1}$，且

所以全局截面由 $f(t)e_0,g(u)e_{\mathrm{\infty }}$ 给出，兼容条件为

左侧允许非负次幂；右侧允许不超过 $n$ 的次幂。若 $n\ge 0$，共同允许的幂为 $0,1,\dots ,n$，因此

若 $n<0$，两个允许范围不交，故全局截面为0。局部仍各有一维标架，不能据此把负扭转层当成零层。

一次上同调留下哪些Laurent项 ​

这两片及其交均仿射，扭转层为拟凝聚层公理库拟凝聚层Quasi-coherent sheaf把任意模按主开集局部化为拟凝聚层，证明仿射对应并计算直线支撑，同时给无限生成例和延零反例。，由仿射消失公理库仿射概形上的拟凝聚上同调消失Affine vanishing theorem · Serre affine vanishing证明主开局部化复形的正合性及仿射消失，计算穿孔平面的无限维一次上同调并据此判定非仿射。可用Čech复形公理库Čech 上同调Čech cohomology · Cech cohomology以圆周两弧的两个接缝算出整数粘合障碍，定义固定覆盖的Čech复形并说明比较定理的条件。计算层上同调。把重叠区都用 $e_0$ 表示，差分为

故

若 $n=-3$，分母分别包含指数至少0和至多 $-3$ 的项，留下

作为二维空间的基。例如 $[2t^{-4}+t^{-2}-3+t]=[t^{-2}]$；被删掉的项都能由某张片上的截面改动产生。

一般地，$n\le -2$ 时保留指数 $n+1,\dots ,-1$，维数为 $-n-1$；$n\ge -1$ 时没有剩余项，一次群为零。更高次群为零，因为这份无上同调覆盖的有序Čech复形只有两项。

图中前两行均已换到 $e_0$ 标架，圆点表示该片允许的指数，短横表示不允许；红色末行标出商中的两项基。图只画有限指数窗口，两侧继续按相同规则延伸。

非标准分次下O(1)甚至可以为零 ​

令 $S=k[x]$，但规定 $\mathrm{deg}x=2$。Proj只有一张图 $D_{+}(x)=\mathrm{Spec}k$，因为 $(S_x{)}_0=k$。$S_x=k[x,x^{-1}]$ 中只有偶数次数，故

另一方面 $(S_x{)}_2=kx$，所以 ${\mathcal{O}}_X(2)\cong {\mathcal{O}}_X$。此时 $\mathcal{O}(1)\otimes \mathcal{O}(1)=0$ 并不等于 $\mathcal{O}(2)$。这准确展示了为什么不能把标准分次条件从式 (2) 删去。

局部标架证明张量规则 ​

在次数1元素 $f$ 的标准片上，每个次数 $n$ 分式都唯一写成 $f^n$ 乘一个零次分式。因此 $(S_f{)}_n$ 是 $(S_f{)}_0$ 上以 $f^n$ 为基的自由模，$\mathcal{O}(n)$ 在此片自由秩1。

局部乘法将张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。中的 $f^a\otimes f^b$ 送为 $f^{a+b}$，是自由秩1模之间的同构。由于这些映射来自同一分次乘法，在重叠处相容，故粘成式 (2)。这同时确定了正负扭转的符号约定：$\mathcal{O}(-1)$ 的过渡在射影直线上为 $t^{-1}$，与前页两片构造一致。

齐次元素到全局截面不总是同构 ​

每个 $s\in S_n$ 在各片都给出次数 $n$ 的局部化元素，因此有自然映射

对多项式环的射影直线，上面证明它是同构；对一般标准分次商环，不能不加条件就照搬。

例如 $S=k[x,y]/(x^2,xy)$，两个变量次数均为1。由于 $x$ 幂零，Proj由 $D_{+}(y)$ 覆盖，而在 $S_y$ 中 $x=0$。因此 $S_1$ 中非零元素 $x$ 送到 $\mathcal{O}(1)$ 的零截面。这个自然映射甚至未必单射：Proj看不见完全被正次分母消去的部分。

截面怎样产生射影坐标 ​

选一组同一扭转层的截面，若它们在每个点共同生成该线丛，就得到射影映射公理库线性系与射影映射Linear system of sections · Base-point-free linear system用线丛截面的比值构造射影态射，定位投影的基点，并以平方映射区分基点自由与闭嵌入。。使用全部次数 $d$ 单项式将导向Veronese嵌入；只挑部分单项式则需另外检查基点与是否区分不同点。

自检应能同时说清三件事：$\mathcal{O}(-3)$ 局部秩为1，全局截面为0，一次上同调却有维数2。这三项描述的是局部标架、整体兼容截面和接缝差，彼此并不矛盾。