Proj 构造

仿射锥中的点还记着向量的长度或尺度，齐次比例只记方向。零次分式把分子和分母的缩放次数抵消，因而成为射影片上的函数。

锥顶没有非零方向，不能用任何正次数齐次元素作分母。排除包含 $S_{+}$ 的齐次素理想，使剩下每个点至少落在一张可用的比例坐标片中。

这是一种理解标准分次域代数的图景，不是Proj在一般环上的定义。一般Proj还包含泛点及各种剩余域的点，不能把它简单当作所有非零 $k$-向量除以 $k^{\times }$。

用两张仿射线读出一条射影二次曲线 ​

取

若一个齐次素理想同时含 $x,z$，由 $y^2=xz$ 也含 $y$，便含整个 $S_{+}$，不在Proj中。因此 $D_{+}(x)$ 与 $D_{+}(z)$ 已覆盖全部 $\mathrm{Proj}S$。

在 $D_{+}(x)$ 上取零次坐标

原关系除以 $x^2$ 得 $v=u^2$，所以

在 $D_{+}(z)$ 上取 $w=y/z,h=x/z$，则 $h=w^2$，得到另一张 $\mathrm{Spec}k[w]$。

两片相交时 $x,z$ 都可逆，故 $y^2=xz$ 也使 $y$ 可逆，并有

因此重叠规则是 $w=u^{-1}$。这正是两条仿射线按倒数粘成射影直线的规则。所以这条射影二次曲线同构于 ${\mathbb{P}}_k^1$，具体映射为

在 $s\ne 0$ 的图中 $u=t/s$；在 $t\ne 0$ 的图中 $w=s/t$。这些图上公式直接给出逆映射，不需要开平方，故在特征2也有效。

仿射锥与Proj不是同一个空间 ​

$\mathrm{Spec}S$ 含锥顶极大理想 $(x,y,z)$；Proj不含它。更重要的是，两种构造在 $x$ 可逆的区域也不同：

前者仍记着非零尺度 $x$，后者只记方向参数 $u$。所以Proj并非只从仿射锥删去一个点，还改变了用于描述每片的函数环。

没有正次数就没有射影方向 ​

若 $S=S_0$ 全部集中在次数0，则 $S_{+}=0$。每个素理想都包含0，所以 $\mathrm{Proj}S$ 为空；而 $\mathrm{Spec}S$ 未必为空。更一般地，若所有正次元素均幂零，它们属于每个素理想，Proj仍为空。

标准开集为什么确实是仿射片 ​

先把不含 $f$ 的齐次素理想局部化到整数分次环 $S_f$，再与零次子环相交，就得到 $(S_f{)}_0$ 的素理想。这个过程可逆。若 $d=\mathrm{deg}f$，从零次素理想 $\mathfrak{q}$ 恢复齐次元素 $a\in S_e$ 是否属于原素理想，可用条件

将各齐次分量按此规则收集，得到唯一对应的齐次素理想；通分与素性保证加法、乘法和素理想条件。由“某个齐次元素不在素理想中”的条件还能核对两边主开集，得到式 (1) 的拓扑同胚。

层结构也相容。若 $\mathrm{deg}g=e$，则在 $D_{+}(f)$ 内，交集 $D_{+}(fg)$ 对应零次元素

的非零主开集，并有

因此图与图之间使用的正是普通仿射结构层的局部化限制。这些环映射在三重交上相容，故仿射片与结构层可以一起粘合。Proj的局部环性于是来自每张仿射片，而非额外假定。

齐次方程定义闭子概形 ​

若 $I\subseteq S$ 齐次，$\mathrm{Proj}(S/I)$ 自然成为 $\mathrm{Proj}S$ 的闭子概形。在每张图上，映射由零次局部化的满环同态给出。保留商环而不只保留零点集，能够记录重数和幂零结构。

例如 $\mathrm{Proj}k[x,y,z]/(z^2)$ 是射影平面中一条带二重结构的直线；与商掉 $(z)$ 的直线有相同底层点，却有不同结构层。齐次方程的指数不是可以随意删去的记号。

后续扭转层公理库Proj 上的扭转层Twisting sheaf · Serre twisting sheaf从分次位移构造扭转层，逐指数算出P1上的H0和H1，并展示非标准分次下O(1)失效。会保留不为零的次数：齐次多项式通常不是射影空间上的普通函数，而是相应扭转层的截面。自检可在上述二次曲线的两张图上检查 $y$ 本身随缩放改变，而 $y/x$ 是第一图的合法函数。