分次环与齐次理想

分次是给元素保留一份可追踪的次数。相同次数可以相加，乘法则把次数相加。齐次关系只在同一层里识别元素，因此取商后各层仍分得开。

非齐次关系可能把常数与一次项混在一起，使次数失去唯一性。环本身可能仍很简单，但不能再把原来的次数原封不动地带下去。

二次关系如何改变每层的维数 ​

给多项式环公理库多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。 $k[x,y,z]$ 中三个变量都赋次数1，令

关系齐次次数2，故商环分次。把它看成 $k[x,z][y]/(y^2-xz)$，由于被除式关于 $y$ 首一，多项式除法给唯一表达

因此 $S$ 作为 $k[x,z]$-模自由，基为 $1,y$。第 $m$ 层的一组 $k$-基为

后一组在 $m=0$ 时为空。所以

前三个正次数依次为3、5、7。比如次数2可取 $x^2,xy,xz,yz,z^2$；$y^2$ 已由 $xz$ 替代。唯一余式保证这些单项式既张成又无额外线性关系，不能只靠数出“六项减一项”推断所有次数。

一个不允许继承原分次的商 ​

在标准分次 $k[x]$ 中，理想 $(x-1)$ 不齐次：它含 $x-1$，却不含其零次分量 $-1$。商环同构于 $k$，但若试图继承原分次，$[x]=[1]\ne 0$ 会同时处于次数1和次数0，违反直和的交为零。

当然可以另外把商环 $k$ 全部放在次数0。问题不是这个环永远不能分次，而是原商映射不再保持原来的次数。

加权次数仍是分次，却未必标准 ​

给 $k[x,y]$ 规定 $\mathrm{deg}x=2,\mathrm{deg}y=3$。那么 $x^3-y^2$ 齐次次数6，但 $S_1=0$，不能由次数1生成。这种加权分次在某些几何问题中很自然；依赖标准分次的结论必须另外核验。

两个齐次理想定义为什么等价 ​

若 $I$ 含每个元素的全部齐次分量，则这些分量本身就是一组齐次生成元。反过来，设 $I=(h_{\alpha })$，每个 $h_{\alpha }$ 齐次。任一 $s\in I$ 是有限和 $\sum a_{\alpha }{h}_{\alpha }$；再把各 $a_{\alpha }$ 分次，每个齐次分量仍为这些 $h_{\alpha }$ 的组合，故属于 $I$。

对齐次 $I$，若不同次数商类之和为零，选代表后有 $\sum s_d\in I$，于是每个 $s_d\in I$。这证明商的分解仍为直和。条件不是装饰，而是商分次可定义的精确理由。

齐次局部化与零次部分 ​

若 $f$ 齐次次数 $r>0$，局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。 $S_f$ 变成整数分次环：齐次分式 $a/f^n$ 的次数为 $\mathrm{deg}a-nr$。其零次子环记为

对 $S=k[x,y]$、$f=x$，有

$x$ 属于前者却不属于后者；$y/x$ 才是不随同时缩放 $x,y$ 改变的比值。后续Proj构造公理库Proj 构造Proj construction · Projective spectrum以零次局部化构造Proj，完整计算射影二次曲线的两张仿射图，并区分射影曲线与仿射锥。使用的是零次子环，若误用整个 $S_x$，会多保留一个尺度方向。

在二次关系例子中，令 $u=y/x,v=z/x$，则 $(S_x{)}_0=k[u,v]/(v-u^2)\cong k[u]$。原环中有三个变量及一个关系，取零次比值后得到一条仿射线，这已经展示了分次如何进入射影几何。

分次位移不是改写乘法 ​

对分次模 $M=⨁M_d$，定义 $M(n{)}_d=M_{n+d}$。底层模没有改变，改变的是次数标签。例如 $S(-2{)}_m=S_{m-2}$，乘一个次数2齐次元素便成为保持次数的映射 $S(-2)\to S$。

这个记号使按次数取短正合列变得清楚，也是扭转层和Hilbert函数计算的入口。自检时可写出乘 $xz-y^2$ 的映射 $k[x,y,z](-2)\to k[x,y,z]$，说明为什么源必须位移2而不是把次数差忽略掉。