拟凝聚层

结构层允许随开集扩大可用的分母。拟凝聚层要求被研究的线性数据跟着用同一套分母：在 $D(f)$ 上，只需把原模中的 $f$ 变成可逆标量，不应另加无法由这种局部化解释的数据。

“拟凝聚”描述的是局部代数与限制映射的兼容方式，不是有限维或有限生成的同义词。局部自由层、商模层和无限直和都可拟凝聚；任意模层则可能没有这种局部化规则。

模的支撑成为一条直线 ​

取 $R=k[x,y]$、$M=R/(x)$。在 $D(y)$ 上，

在 $D(x)$ 上，$x$ 同时被规定为零和可逆，所以局部化模为0。

对素理想 $\mathfrak{p}$，若 $x\notin \mathfrak{p}$，茎为0；若 $x\in \mathfrak{p}$，则 $M_{\mathfrak{p}}\ne 0$。后一断言可直接检查：若 $1$ 在该局部化商中为零，就有某个 $s\notin \mathfrak{p}$ 属于 $(x)$，与 $x\in \mathfrak{p}$ 矛盾。

因此非零茎组成的支撑恰为 $V(x)$。在泛点 $\mathfrak{p}=(x)$ 处，茎为有理函数域 $k(y)$；在闭点 $(x,y-a)$ 处，它是 $k[y{]}_{(y-a)}$。同一条支撑线上，各点的局部信息仍不同。

拟凝聚不要求有限生成 ​

设 $R\ne 0$，令 $M=\underset{n\ge 0}{⨁}R$。它的层满足

每个元素只有有限个非零分量。它拟凝聚，却没有有限组全局模生成元，因为有限组元素共同涉及的坐标仍有限，不能产生更远的单位坐标。

在Noether概形上，凝聚层对应仿射片上的有限生成模；这里额外的有限性正是应与拟凝聚分开的条件。

一个不是拟凝聚的模层 ​

在 $X=\mathrm{Spec}k[x]$ 上取 $U=D(x)$。把 ${\mathcal{O}}_U$ 延零到 $X$：在开集 $V$ 上，只允许那些在 $V\cap U$ 上正则、且非零芽的支撑在 $V$ 中闭的截面。这条局部规则定义一个模层 $\mathcal{E}$，在 $U$ 上限制为 ${\mathcal{O}}_U$，在原点茎为0。

它的全局截面却只有0。因为 $k[x,x^{-1}]$ 的任意非零元素在 $U$ 的每个茎都非零，支撑为整个 $U$；$U$ 在 $X$ 中不闭，所以这种截面不允许全局出现。

若 $\mathcal{E}$ 拟凝聚，仿射对应将给出 $\mathcal{E}\cong \widetilde{\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{E})}=0$，与它在 $U$ 上非零矛盾。因此“它是模层”不够，还必须检查局部化相容性。

从局部化得到层 ​

式 (1) 的粘合沿用结构层的清分母机制，但元素现在属于任意模。对有限主开覆盖 $D(f_i)$，取共同幂 $N$ 清掉局部截面及其差中的分母，再写

将清好分母的局部元素按 $a_i$ 加权相加便得到全局元素；若一个元素在各片上都为零，同样的单位理想关系迫使它为零。这个论证只涉及有限个给定元素，不要求 $M$ 有限生成。

为什么任何仿射片都能恢复一个模 ​

设 $X=\mathrm{Spec}R$，选有限主开覆盖 $D(f_i)$，在每片有模 $M_i$ 和重叠上的相容同构

定义 $M$ 为 $\prod _i{M}_i$ 中所有重叠一致的元组，即两个限制映射的等化子。

局部化正合，并与有限乘积交换。把等化子局部化到 $f_i$ 后，第 $i$ 片已经成为整个局部空间；相容元组由其第 $i$ 分量唯一确定，其他分量由重叠同构给出。因此 $M_{f_i}\cong M_i$。

于是 $\tilde{M}$ 与 $\mathcal{F}$ 在覆盖各片上一致，重叠识别也一致，故同构。整个空间是 $D(1)$，所以 $M=\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{F})$。同一证明用于任意仿射开集，得到定义中“某个覆盖”与“每个仿射片”的等价。

态射为什么没有丢失 ​

模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。 $M\to N$ 逐主开局部化，给出 $\tilde{M}\to \tilde{N}$。反向，层态射在全局截面上给 $M\to N$；由于它在 $D(f)$ 上 $R_f$-线性，$m/f^n$ 的像必为全局 $m$ 的像除以 $f^n$。所以态射在全部主开集上已被全局映射确定。这证明了全忠实性。

自检：对 $M=R/(x)$，比较先取 $D(y)$ 再取 $D(y(y-1))$，与直接把 $y,y-1$ 都变为可逆的结果。两条路线都给 $k[y,y^{-1},(y-1{)}^{-1}]$。拟凝聚性要求这种路径无关的局部代数，而不是仅为每个开集随意安排一个模。