层的直像与逆像 | Codeboy's Blog

形式陈述

沿一个连续映射 $f:X\to Y$ 搬运层，两个方向为什么采用不同公式？若 $\mathcal F$ 是 $X$ 上的层，直像定义为

(f_*\mathcal F)(V)=\mathcal F(f^{-1}V) \qquad(V\subseteq Y\text{ 开}).

限制映射由 $\mathcal F$ 的限制给出。开覆盖的逆像仍为开覆盖，所以这已经是层。

若 $\mathcal G$ 是 $Y$ 上的层，先在 $X$ 上定义逆像预层

(f_p\mathcal G)(U)=\varinjlim_{f(U)\subseteq V}\mathcal G(V),

其中 $V$ 遍历包含 $f(U)$ 的开邻域，按不断缩小取余极限。再取层化：

f^{-1}\mathcal G=(f_p\mathcal G)^\#.

它满足 $(f^{-1}\mathcal G)_x\cong\mathcal G_{f(x)}$ ，并与直像组成伴随：

\operatorname{Hom}_X(f^{-1}\mathcal G,\mathcal F) \cong\operatorname{Hom}_Y(\mathcal G,f_*\mathcal F).

这里上标 $-1$ 表示层的逆像，不要求 $f$ 可逆。

直觉

直像是在 $Y$ 的开集上，读取它覆盖到的全部 $X$ 区域的截面。它不是把每条纤维上的值简单相加，也不自动给每个点一个固定维数的向量空间。

逆像则将 $Y$ 中的局部数据带到 $X$ 。如果 $f(U)$ 不是开集， $\mathcal G(f(U))$ 根本没有定义，所以必须用包围 $f(U)$ 的开邻域。缩小邻域去掉无关的远处信息，再通过层化允许 $X$ 上各处的局部数据粘合。

例子与边界

一个点看见的是茎

令 $i:\{0\}\hookrightarrow\mathbb R$ 。对实线上的层 $\mathcal G$ ，唯一非空开集上的逆像为

i^{-1}\mathcal G=\varinjlim_{0\in V}\mathcal G(V)=\mathcal G_0.

因此点逆像给出的是芽，而不是函数点值。连续函数 $t\mapsto t$ 在0取值为0，却不是零芽，因为它在任何0的邻域都不恒为零。

反向对单点上的Abel群 $A$ ，直像为

(i_*A)(U)=\begin{cases}A,&0\in U,\\0,&0\notin U.\end{cases}

这叫摩天楼层。其0处茎为 $A$ ，其他点的茎为0。最后一句使用的是实线可以将不同点分开的拓扑，不能未经检查搬到任意非Hausdorff空间。

逆像与模拉回还差一次标量变换

若 $f:(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)$ 是环空间态射， $f^{-1}\mathcal G$ 自然是 $f^{-1}\mathcal O_Y$ -模，而未必已经是 $\mathcal O_X$ -模。对模层定义

f^*\mathcal G =\mathcal O_X\otimes_{f^{-1}\mathcal O_Y}f^{-1}\mathcal G. \tag{1}

这个张量积才完成标量变化。

取闭点态射 $i:\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k[x]$ ，由 $x\mapsto0$ 给出，令 $\mathcal G=\widetilde{k[x]/(x^2)}$ 。普通逆像在这个点上为

i^{-1}\mathcal G=k[x]_{(x)}/(x^2),

仍有非零的 $x$ 芽。模拉回则为

i^*\mathcal G =k\otimes_{k[x]_{(x)}}k[x]_{(x)}/(x^2)\cong k.

后者把 $x$ 当成点值0，删掉了这一阶幂零信息。两种构造不能都叫作“在点上取值”而不区分。

推论与应用

茎公式与伴随的具体来源

逆像茎包含两个缩小过程：先让 $U$ 缩向 $x$ ，再让 $V$ 围住 $f(U)$ 。任意 $f(x)$ 的开邻域 $V$ 都可与 $U=f^{-1}V$ 配对，反向每个这样的 $V$ 又包含 $f(x)$ 。这使双重余极限等于 $\mathcal G_{f(x)}$ 。层化不改变茎，所以得到所述公式。

若有 $\mathcal G\to f_*\mathcal F$ ，则对 $f(U)\subseteq V$ ，先将 $\mathcal G(V)$ 送到 $\mathcal F(f^{-1}V)$ ，再限制到 $\mathcal F(U)$ 。这些映射与缩小 $V$ 相容，故经余极限得到 $f_p\mathcal G\to\mathcal F$ ，再经层化得到 $f^{-1}\mathcal G\to\mathcal F$ 。

反向，对 $\mathcal G(V)$ 的一个截面，它在 $f^{-1}V$ 上给出逆像预层截面；与 $f^{-1}\mathcal G\to\mathcal F$ 复合便得到直像一侧的态射。两次构造互逆，因为都保留原来每个开邻域的代表。这实际构造了伴随双射。

两种“拉回”有不同正合性

Abel群层的 $f^{-1}$ 正合，因为正合性可逐茎检查，茎只变成原来的 $\mathcal G_{f(x)}$ 。模层的 $f^*$ 却包含式 (1) 的张量积，通常只右正合；要保证左正合，可要求每个 $\mathcal O_{X,x}$ 通过结构同态成为 $\mathcal O_{Y,f(x)}$ 上的平坦模。

直像 $f_*$ 左正合，但一般不右正合。极端例子是 $f:X\to\{*\}$ ：此时 $f_*\mathcal F$ 就是全局截面群，圆周上的局部原函数无法全局粘合已经说明它可能丢失满射。

函数拉回的方向

概形态射的结构层映射写成 $\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ ，也等价于 $f^{-1}\mathcal O_Y\to\mathcal O_X$ 。点沿 $f$ 向前走，函数则通过复合向后走；两种层态射写法由上面的伴随连接，不是互相矛盾的方向约定。

自检：对常映射 $X\to\{*\}$ ，一个群 $A$ 的逆像是 $X$ 上的常值层，即局部常值 $A$ 值函数层，通常不是“每个非空开集只放同一个 $A$ ”的常值预层。这里恰好可以看见最后那次层化的必要性。

参考资料

The Stacks Project，§6.21，Tag 008C，Lemmas 6.21.1、6.21.3–6.21.5 与 6.21.8：直像、邻域余极限、茎公式和伴随。
The Stacks Project，Lemma 6.26.2，Tag 0096，环空间模拉回的伴随；§17.3，Tag 01AF，Lemma 17.3.3：两种拉回的正合性区别。

形式陈述 ​

一个点看见的是茎 ​

逆像与模拉回还差一次标量变换 ​

茎公式与伴随的具体来源 ​

两种“拉回”有不同正合性 ​