层化

层化只承认能够在小邻域里实际出现的数据。它先把“局部已经相同”的截面识别，再允许相容的局部代表覆盖更大区域。第一步可能删掉原来的全局区别，第二步可能增加原来缺少的全局截面。

因为任何新截面在每点附近仍来自旧预层，茎没有改变。改变的是不同点附近的信息可以怎样组合起来。保持全部茎，并不意味着保持全部开集上的截面集合。

商预层缺少一圈角度 ​

在圆周 $S^1$ 上，令

其中 $C(U,\mathbb{Z})$ 为连续整数值函数，也就是局部常值整数函数。限制函数给出商预层。指数映射诱导单射

单射来自：两个实函数的指数相同，当且仅当它们的差处处为整数。

考虑圆周上的恒等函数 $g(z)=z$。每条足够短的开弧上可以连续选角度 $f$，满足 $e^{2\pi if}=g$。两条弧交叠时，两份角度相差连续整数值函数，因此在 $\mathcal{Q}$ 中相同。

但 $g$ 不来自 $\mathcal{Q}(S^1)$。若存在连续 $f:S^1\to \mathbb{R}$，令 $h(t)=f(e^{2\pi it})$，则 $h$ 为1周期函数，而 $e^{2\pi ih(t)}=e^{2\pi it}$ 迫使 $h(t)-t$ 为连续整数值函数，故恒定。这样 $h(t+1)=h(t)+1$，与周期性矛盾。

所以这些商类局部相容，却没有全局商类可粘合。层化后，$g$ 就成为合法截面；事实上

因为每个连续圆周值函数都局部有实值角度，而两份角度的差正是被商掉的整数函数。

层化也可能把原截面识别掉 ​

取两点离散空间 $X=\{p,q\}$。定义Abel群预层 $\mathcal{F}(X)=\mathbb{Z}$，而每个真开子集上的群都是0，所有非恒等限制映射均为零。

两个茎都为0，所以层化为零层。原来不同的整数截面在每个点附近都变成同一个零截面，因而全部被识别。这个例子说明 $\eta (U)$ 不一定单射；只有预层已满足局部唯一性时，层化才只是增加粘合而不丢失截面。

层条件与茎保持的证明 ​

若开覆盖上的芽族相容，就在每个点取所属覆盖片给出的芽。相容性保证值唯一，局部可表示性也可直接在该覆盖片内检查，因此得到唯一粘合，${\mathcal{F}}^{\mathrm{\#}}$ 是层。

${\eta }_x$ 满射，是因为层化截面在 $x$ 附近就有旧截面代表。它单射，是因为若两个旧截面送入层化后在 $x$ 附近相同，其在 $x$ 的芽已经相同；正是原茎的等价关系。于是 ${\mathcal{F}}_x\cong {\mathcal{F}}_x^{\mathrm{\#}}$。

泛性质如何构造分解 ​

设 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$，其中 $\mathcal{G}$ 已是层。给一个层化截面，在一组小开集 $V_i$ 上取旧代表 $s_i$，并将它们送成 $\phi (s_i)$。

在交集每一点，两份旧代表的芽相同，所以在更小邻域上相同；其像也相同。$\mathcal{G}$ 的局部唯一性因此保证 $\phi (s_i)$ 在整个交集一致，可以唯一粘合。得到的截面与所选代表和覆盖无关，这就构造了 ${\mathcal{F}}^{\mathrm{\#}}\to \mathcal{G}$。

唯一性来自每个层化截面局部都由 $\eta$ 的像组成。换成伴随公理库伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。语言，层化是“将层看作预层”的包含函子的左伴随。

为什么商与像需要层化 ​

给 Abel 群层的态射 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$，逐开集形成的商 $U\mapsto \mathcal{B}(U)/\mathrm{im}\mathcal{A}(U)$ 未必是层。其层化才是层范畴中的余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。；前面的实函数模整数函数就是一个具体例子。

自检可比较这个商预层与其层化：在任意一个点的茎上二者相同，在整个圆周上却多出了不能选全局实角度的函数。若只检查点附近的数据而忽略是否已满足层条件，就会错误地把这两种对象当成同一个预层。