层上同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

如何把全局截面不保持正合性的程度，组织成不依赖覆盖的群？令 $\operatorname{Ab}(X)$ 为拓扑空间 $X$ 上的Abel群层范畴。全局截面函子

\Gamma(X,-):\operatorname{Ab}(X)\longrightarrow\operatorname{Ab}

左正合。它的右导出函子称为层上同调：

H^p(X,\mathcal F)=R^p\Gamma(X,\mathcal F),\qquad p\ge0.

具体地，取内射分解

0\to\mathcal F\to\mathcal I^0\xrightarrow{d^0}\mathcal I^1 \xrightarrow{d^1}\cdots,

定义

H^p(X,\mathcal F)=H^p\bigl(\Gamma(X,\mathcal I^\bullet)\bigr). \tag{1}

比较定理保证结果不依赖所选分解。零次群就是 $\Gamma(X,\mathcal F)$ ；正次群来自先分解、再取截面后留下的核与像之差。

对环空间上的模层，也可在 $\mathcal O_X$ -模层范畴中这样定义。所得群带 $\mathcal O_X(X)$ -模结构，忘记此结构后与底层Abel群层的上同调一致。这需要模层内射对象是flasque、因而对底层截面函子无高阶上同调；不是把两种范畴的“内射”直接当成同一概念。

直觉

层的正合列只保证局部提升。全局提升可能失败，而一次上同调记录第一层失败；继续比较提升之间的关系，还会出现更高次障碍。

空间本身并不决定答案，系数层也参与其中。圆周上的整数数据若绕一圈后符号反转，“保持不变的整数”和“接缝无法消除的整数差”都会改变。下面的计算会产生一个阶为2的挠元，而普通整数系数圆周上同调没有这个挠元。

例子与边界

绕一圈变号的整数层

仍用两条开弧 $U,V$ 覆盖圆周，交集为两条开弧 $W_0,W_1$ 。在 $U,V$ 上各放一份局部常值整数层；在 $W_0$ 上用恒等映射粘合，在 $W_1$ 上用乘 $-1$ 粘合。所得层记为 $\mathcal L$ 。它局部看起来处处是 $\mathbb Z$ ，但沿圆周走一圈会使整数变号。

选择重叠分支的坐标，使 $U$ 的常数 $a$ 限制为 $(a,-a)$ ， $V$ 的常数 $b$ 限制为 $(b,b)$ 。于是Čech差分为

\delta:\mathbb Z^2\longrightarrow\mathbb Z^2, \qquad \delta(a,b)=(b-a,b+a). \tag{2}

核需同时满足 $b=a$ 和 $b=-a$ ，故 $2a=0$ ；整数中只能 $a=b=0$ 。因此

H^0(S^1,\mathcal L)=0.

这也可从绕行理解：全局整数必须等于自己的负数。

像由 $(-1,1)$ 与 $(1,1)$ 生成。令

\epsilon(u,v)=u+v\pmod2.

式 (2) 的像落在 $\ker\epsilon$ 。反之，若 $u+v$ 为偶数，则

a=(v-u)/2,\qquad b=(u+v)/2

都是整数，并满足 $\delta(a,b)=(u,v)$ 。所以像恰为同奇偶的整数对，得到

H^1(S^1,\mathcal L)\cong\mathbb Z/2.

类 $[(1,0)]$ 非零，而 $2(1,0)=(2,0)=\delta(-1,1)$ ，给出了它确为阶为2的元素的证书。这份二元覆盖的有序 Čech 复形没有次数至少为 $2$ 的项；经下文的比较定理验证后，更高次层上同调也为零。

为什么这份Čech计算有效

需要检查 $U,V,W_0,W_1$ 上的限制层无正次上同调，不能仅凭“用了覆盖”便宣告式 (2) 算的是式 (1)。这些开集都是区间， $\mathcal L$ 在每个区间上为常值整数层。若只用单片覆盖 $\{S^1\}$ ，固定覆盖的 Čech 正次群全部为零，却不会消掉这里的 $H^1(S^1,\mathcal L)=\mathbb Z/2$ ；问题是这一片本身不满足无上同调的比较条件。

区间上的局部消失可以用基覆盖判据检验。任意区间开覆盖都可细化为局部有限、依次相邻的区间链，使只有相邻两片相交且没有三重交；可先沿区间选逐渐变小的局部细分，再把分点略微加宽。这类覆盖的Čech差分是

(a_i)_i\longmapsto(a_{i+1}-a_i)_i.

给定右侧任意整数列，从一个指标取 $a_0=0$ ，向左右递推即可解出所有 $a_i$ 。每个值只需有限次相加，不要求级数收敛。因此一次群为零，更高次复形为零。所有开子区间也有同样的细化，基覆盖判据给出区间的正次层上同调消失。最后应用无上同调交集的Čech比较定理。

这个论证用到了系数在区间上常值。一般层放在可缩空间上，并不自动无上同调。

推论与应用

为什么足够内射对象确实存在

对每点 $x$ ，把Abel群 $\mathcal F_x$ 嵌入一个内射整数模 $J_x$ ，即内射 Abel 群。令

\mathcal I(U)=\prod_{x\in U}J_x.

这允许各点任意选择元素，限制只是删去坐标，因此是一个层。截面 $s$ 映到其各点芽在 $J_x$ 中的像；若所有像为零， $s$ 在每点附近为零，故 $s=0$ 。所以 $\mathcal F\hookrightarrow\mathcal I$ 。

还须核验 $\mathcal I$ 内射。记 $i_x:\{x\}\hookrightarrow X$ ，则由点嵌入的直像得到 $\mathcal I=\prod_x i_{x*}J_x$ ，而

\operatorname{Hom}(\mathcal G,i_{x*}J_x) \cong\operatorname{Hom}(\mathcal G_x,J_x).

取茎正合， $J_x$ 内射，因此右侧把层单射变成满射；逐坐标选择提升，乘积也保持此性质。对余核反复执行这一构造便得到式 (1) 所需分解。

连接同态定位提升障碍

短正合列 $0\to\mathcal F\to\mathcal G\to\mathcal H\to0$ 给出长正合列

0\to H^0(X,\mathcal F)\to H^0(X,\mathcal G) \to H^0(X,\mathcal H)\xrightarrow{\partial}H^1(X,\mathcal F) \to H^1(X,\mathcal G)\to\cdots.

正合性说： $h$ 有全局提升，当且仅当 $\partial h=0$ 。在能计算Čech群的覆盖上， $\partial h$ 就是局部提升之间的差所代表的类。抽象导出函子因此保留了接缝差的直观意义，同时摆脱了任意选取某份覆盖的局限。

整数计算不可先换成实数

式 (2) 的矩阵行列式为 $-2$ 。在 $\mathbb R$ 上它可逆，两次上同调都消失；在 $\mathbb Z$ 上它不是可逆矩阵，余核有阶为2的挠元。只做实数行消元会漏掉这个答案。

实际运算可用无上同调分解替代巨大而难写出的内射分解。但每次替代都必须核验两点：分解在层的意义下正合，以及每个分解项对全局截面函子无高阶上同调。

参考资料

The Stacks Project，§20.2，Tag 01DZ：层上同调与模层上同调的定义；§19.4，Tag 01DF：逐点内射群构造足够内射层。
The Stacks Project，Lemma 20.11.9，Tag 01EW 与 Lemma 20.11.6，Tag 01ET：区间链覆盖使用的基消失判据及比较定理。
Paul Garrett，Sheaf Cohomology，§2、§6–7：截面函子、内射模层的flasque性质及无上同调性。符号层的整数核、像与挠元代表在本文直接验证。

形式陈述 ​

绕一圈变号的整数层 ​

为什么这份Čech计算有效 ​

为什么足够内射对象确实存在 ​

连接同态定位提升障碍 ​

整数计算不可先换成实数 ​