无上同调层与计算分解

内射分解公理库内射分解Injective resolution从给定模嵌入并向高次数延伸、由内射模组成且正次数无上同调的增广复形。保证任何相关提升问题都能处理，条件很强。式 (2) 实际只需要分解项对“取全局截面”这一个操作没有高阶障碍。

flasque层把任意局部截面直接延拓出去；fine层则把各片贡献乘上只在该片起作用的权重，再相加。两者的机制不同。光滑函数层是fine，却通常不是flasque：$(0,1)$ 上的函数 $1/x$ 不能延拓成 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数。

单位分解如何消去Čech余循环 ​

设 $X$ 是仿紧Hausdorff光滑流形，$\mathcal{A}$ 是光滑函数层 ${\mathcal{C}}_X^{\mathrm{\infty }}$ 上的模层。对局部有限覆盖 $(U_i)$，取从属的单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。 $({\rho }_i)$，满足 $\mathrm{supp}{\rho }_i\subset U_i$ 及 $\sum _i{\rho }_i=1$。乘 ${\rho }_i$ 就给出fine定义中的自同态。

把Čech余链公理库Čech 上同调Čech cohomology · Cech cohomology以圆周两弧的两个接缝算出整数粘合障碍，定义固定覆盖的Čech复形并说明比较定理的条件。延拓为交替指标记号，重复指标时置零。对 $p\ge 1$，定义

每个乘积最初只在 $U_j\cap U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_{p-1}}$ 上定义。由于 ${\rho }_j$ 的闭支撑留在 $U_j$ 内，它可以零延拓到整个 $U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_{p-1}}$。局部有限性保证和仍是截面。

展开差分可得

所以 $\delta h+h\delta =\mathrm{id}$。若 $\delta c=0$，则 $c=\delta (hc)$：接缝障碍被权重明确地消掉，而不仅是抽象知道某个群为零。

圆周上的积分成为余核坐标 ​

圆周上有正合分解

它逐茎正合，因为一形式在小区间上可积分。两项 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\Omega }}^1$ 都是fine层，故式 (2) 给

用 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的坐标，一形式写成 $a(t)dt$，其中 $a$ 为1周期光滑函数。积分

给出该商与 $\mathbb{R}$ 的同构：恰当形式积分为零；若积分为零，微积分基本定理公理库微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。给出的原函数 $f(t)={\int }_0^{t}a(s)ds$ 为1周期，能够下降到圆周。常数形式 $cdt$ 则实现任意实数 $c$。

为什么整数扭曲不会被光滑权重抹掉 ​

圆周变号整数层 $\mathcal{L}$ 不是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$-模层。把一个整数乘上 ${\rho }_j(x)$ 通常不再是整数，式 (3) 不能用于它。事实上它的 $H^1=\mathbb{Z}/2$ 非零，已经证明它不可能是fine层。

同样，代数正则函数或全纯函数一般没有这样的紧支撑单位分解。光滑范畴中成立的收缩，不能直接搬到代数或全纯层。

分解定理的维数移动证明 ​

令 ${\mathcal{Z}}^0=\mathcal{F}$，${\mathcal{Z}}^j=\ker d^j$，其中把 $\mathcal{F}$ 与 $\ker d^0$ 识别。式 (1) 拆成短正合列

因为 ${\mathcal{A}}^j$ 无高阶上同调，长正合列把下述截面映射的余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。识别为一次上同调，并给出

以及 $H^q(X,{\mathcal{Z}}^{j+1})\cong H^{q+1}(X,{\mathcal{Z}}^j)$，$q\ge 1$。而截面函子保持核，所以对 $n\ge 1$，右侧复形的第 $n$ 次上同调是

$n=0$ 由左正合性直接得到。这证明式 (2)，也指出每项无上同调的假设究竟用在哪里。

flasque为什么足够 ​

若短正合列 $0\to \mathcal{A}\to \mathcal{B}\to \mathcal{C}\to 0$ 的核 $\mathcal{A}$ flasque，那么 $\mathcal{C}$ 的局部提升可以逐片扩张。已在开集 $V$ 上选好提升，又在 $W$ 上选到一份时，两者在交上相差 $\mathcal{A}$ 的截面；把这个差延拓到 $W$，从新提升中减去，便能与旧提升粘合。把兼容的局部提升按延拓排序，链的上界由层粘合给出；Zorn 引理公理库佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。的极大性论证使提升覆盖全部目标开集。

因此截面序列满射。若 $\mathcal{B}$ 也flasque，先提升到 $\mathcal{B}$ 再延拓，还证明 $\mathcal{C}$ flasque。把 $\mathcal{A}$ 嵌入内射层；内射层flasque，余核仍flasque。对长正合列反复作维数移动，即得所有正次群为零。

fine无上同调的另一种核验 ​

在光滑模层范畴中，给定满层态射与一个全局目标截面，先选局部提升 $s_i$，再取 $\sum _i{\rho }_i{s}_i$，就得到全局提升。故 $\mathrm{\Gamma }$ 在这个模层范畴中其实正合。取模层内射分解时，每项flasque；忘记标量后，它仍是计算底层Abel群层上同调的无上同调分解。于是正次群确实为零。这一步把Čech收缩与导出函子的定义接起来。

一般fine层 $\mathcal{A}$ 可作同样处理：令环层 $\mathcal{R}=\mathcal{H}om(\mathcal{A},\mathcal{A})$，乘法为复合。fine定义中的 ${\eta }_i$ 是 $\mathcal{R}$ 的全局截面，构成该环层的单位分解。$\mathcal{R}$ 可能不交换；$\mathcal{A}$ 是其左模层公理库模层Sheaf of modules · O-module sheaf将局部函数作为标量定义模层，计算原点支撑的商层及张量失败，并区分茎、纤维和内部Hom。，以上加权提升论证照样成立。仿紧Hausdorff条件保证任意局部提升覆盖可细化为所需的局部有限覆盖。

检验一份候选计算分解时，应分别给出逐茎正合的理由、每一项无上同调的理由，以及取全局截面后的实际差分。仅把一个正合列画得像内射分解，不能保证式 (2)。