公理与理论库定理

佐恩引理

Zorn's lemma

若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。

形式陈述

设 $(P,\le)$ $(P, \leq)$ 为非空偏序集。若每条链 $C\subseteq P$ $C \subseteq P$ 都在 $P$ $P$ 中有上界，即存在 $u\in P$ $u \in P$ 使

$$ \forall c\in C, \qquad c\le u, $$

\forall c \in C, c \leq u,

则 $P$ $P$ 至少有一个极大元 $m$ $m$ ：不存在 $x\in P$ $x \in P$ 满足 $m<x$ $m < x$ 。

在 ZF 集合论中，Zorn 引理与选择公理、良序定理等价。若把空集也视为链，则“空链有上界”已经蕴含 $P$ $P$ 非空，可省略单独的非空假设。

直觉

只要每条全序上升过程都不会“跑出”偏序集，就能找到一个再也无法严格扩张的对象。极大元只是在其上方没有更大对象，不必支配所有其他对象。

例子与边界

向量空间的线性无关集按包含关系偏序。任意链的并仍线性无关，因此 Zorn 引理给出极大线性无关集，它就是一组基。极大元不等于最大元：在按包含排序的集合族中可以有多个彼此不可比的极大元素，而没有包含所有元素的最大者。

推论与应用

Zorn 引理用于证明任意向量空间有基、每个真理想包含于极大理想、部分映射可扩张到极大对象等存在性结果。它通常不给出可计算构造，也不能省略“每条链都有上界”的验证。

参考资料

Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017，§16。
Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 2。