佐恩引理

将尚未完成的对象按“可延拓为”排序。如果沿一条彼此兼容的扩张路线积累所得的全部信息，仍能放进某个合法对象，那么佐恩引理保证存在无法继续扩张的对象。应用时最费力的地方通常是验证这个合并步骤，而不是寻找极大元。

极大与最大有不同的比较范围。极大元只拒绝自己的严格延拓；最大元则必须大于等于所有元素。多个互不兼容的完整构造可以同时极大，因此结论既不保证唯一，也不提供搜索它的算法。

向量空间的基为什么来自链并 ​

设 $V$ 是域 $K$ 上的向量空间，$P$ 是 $V$ 的所有线性无关子集，按包含排序。空集属于 $P$。对链 $\mathcal{C}\subseteq P$，令 $U=\bigcup \mathcal{C}$。空向量族线性无关；任取 $U$ 中 $r\ge 1$ 个两两不同的向量 $v_1,\dots ,v_r$，每个向量属于链的某一成员；由于这些成员两两可比较，有限多个成员中有一个包含其余所有成员。因此这些向量同时位于一个线性无关集内，不可能有非平凡线性关系，故 $U$ 仍线性无关。

佐恩引理于是给出极大线性无关集 $B$。若存在 $v\notin \mathrm{span}(B)$，则 $B\cup \{v\}$ 仍线性无关：任何含 $v$ 的非平凡关系都会把 $v$ 写成 $B$ 的线性组合。这与极大性矛盾，故 $B$ 张成 $V$，是一组基。证明同时解释了为什么只取链的并：两个任意线性无关集的并未必线性无关，例如实向量空间中非零 $v$ 给出的 $\{v\}$ 与 $\{2v\}$。

假设少一步会怎样 ​

$\mathbb{N}$ 按通常大小排序时，每条有限链都有上界，却没有极大元；无限链 $\mathbb{N}$ 自身没有自然数上界。这说明有限链检查不够。集合族 $\{\{1\},\{2\}\}$ 按包含排序有两个极大元，却没有最大元。

也不能把结论直接推广到所有序数构成的真类：每个集合大小的序数链有上界，但没有最大的序数。集合性在排除无限持续扩张时不可省略。

在含幺交换环中，包含某个真理想的所有真理想构成偏序集。链并仍是理想，而且不含 $1$：否则 $1$ 已属于链中某个真理想。故每个真理想都包含于极大理想。条件“含幺”使这一步判别尤其清楚。

佐恩引理推出选择公理的关键也可直接看见：将非空集合族上的部分选择函数按延拓排序，链并是合法函数；若极大部分选择函数漏掉一个集合，只选该集合中的一个元素便可继续延拓，矛盾。反向蕴含及良序化可见上述等价条目。代数闭包理路代数闭包Algebraic closure在不加入超越元素的前提下，使基域上的所有代数方程都能获得全部根的扩域。等存在性构造也采用极大延拓思路，但仍须为各自对象重新证明链上界条件。