佐恩引理

Zorn 引理说，若偏序集中每条链都有上界，也就是每条全序上升过程都不会“跑出”偏序集，那么便存在再也无法严格扩张的极大元。极大元只表示没有严格更大的可比较元素，不一定是支配所有元素的最大元。证明通常先把“部分构造”按延拓排序，再验证任意链可合并成一个合法上界。

为证明每个向量空间有基，取所有线性无关集并按包含关系排序；任意链的并仍线性无关，因此 Zorn 引理给出极大线性无关集，它必张成全空间，也就是一组基。这里若只验证有限链有上界，仍不能应用 Zorn。极大理想存在性同样通过真理想集合的链并完成。还要注意，极大元并非最大元：按包含排序的集合族可以有多个彼此不可比的极大元素，却没有一个包含所有对象的最大者。

偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。与链上界构成假设，选择公理公理库选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。和良序定理公理库良序定理Well-ordering theorem · Zermelo's theorem每个集合都能赋予一个使任意非空子集具有最小元的全序。与 Zorn 引理等价。它广泛证明任意向量空间有基、每个真理想包含于极大理想，以及代数闭包公理库代数闭包Algebraic closure · 代数闭域在不加入超越元素的前提下，使基域上的所有代数方程都能获得全部根的扩域。和部分映射等延拓对象存在；但它通常不给出可计算构造，也绝不能省略“每条链都有上界”的验证。