层的正合列

“存在提升”是逐个小邻域的陈述。不同邻域上的提升可能在交集不一致，而它们的差落在核中。层公理只保证已经相容的数据能够粘合，不能替我们消除这些差。

因此全局截面函子保持核，却不总保持满射。层上同调正是进一步组织这种从局部提升走向全局提升的障碍。

每个一形式局部可积，却未必全局有原函数 ​

在光滑圆周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上，令 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 为光滑实函数层，${\mathrm{\Omega }}^1$ 为光滑一形式层，$\underset{―}{\mathbb{R}}$ 为局部常值实函数层。有层短正合列

核的陈述是：导数为零的光滑函数在每个连通小区间上恒定。局部满射则来自微积分基本定理公理库微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。：在坐标区间中，$a(t)dt$ 有原函数 ${\int }_{t_0}^{t}a(s)ds$。

但由实线上 $dt$ 下降得到的全局一形式 $\alpha$ 满足

若有全局光滑函数 $f$ 使 $df=\alpha$，则把 $f$ 拉回为1周期函数 $\tilde{f}$，会有

矛盾。因此式 (1) 取全局截面后，最后一个映射不满。

这里 $d$ 是Abel群层态射，还是实线性的，但不是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$-模态射，因为 $d(fg)=fdg+gdf$。不能为方便套用模层语言而忽略这条乘积法则。

两个接缝上的常数差 ​

令 $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，取开弧

在每张弧上用对应实区间坐标作 $\alpha$ 的原函数 $f_U,f_V$。交集有两个连通分支：在中间那段，$f_V-f_U=0$；在跨越整数接缝的那段，$f_V-f_U=1$。

若给两份原函数分别加常数 $a,b$，两处差都同时增加 $b-a$。不能让0与1同时变成0。因此局部提升无法粘成全局提升，障碍已具体表现为两接缝常数的差。

茎正合为什么等于层正合 ​

设 $v\circ u=0$。如果茎序列正合，给 $s\in \mathcal{G}(U)$ 满足 $v(s)=0$，每个芽 $s_x$ 都来自某个 $t_x\in {\mathcal{F}}_x$。选择该芽的局部代表，并缩小邻域，使 $u(t)$ 与 $s$ 的限制真正相等。因此 $s$ 局部属于逐开集像，即属于它的层化。这证明 $\ker v\subseteq \mathrm{im}u$。

反过来，像层中的截面局部由 $u$ 的像表示，所以取茎后必属于 $u_x$ 的像。核的茎也等于茎映射的核：若 $v(s)$ 的芽为零，就在某个更小邻域上为零。两边结合即得判据。

全局截面确实保持左正合 ​

对于 $0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal{H}$ 正合，$\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{F})\to \mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{G})$ 单射，因为两个截面可逐芽判等。若 $s\in \mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{G})$ 映成零，局部提升到 $\mathcal{F}$ 后，各份提升在交集上的像相同；由于首映射为单射，提升本身相同，故能粘成全局截面。

所以得到

正合。这里前一层的单射保证提升唯一，才使局部提升自动相容；对最后一个满射则没有这份唯一性。

连接同态记录什么 ​

对短正合列 $0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal{H}\to 0$，一个全局 $h$ 的局部提升 $g_i$ 在交上相差 $\mathcal{F}$ 的截面。三重交上差分相加为零，于是形成一个Čech一余循环公理库Čech 上同调Čech cohomology · Cech cohomology以圆周两弧的两个接缝算出整数粘合障碍，定义固定覆盖的Čech复形并说明比较定理的条件。。改变提升只改变一个余边界，留下的类就是全局提升障碍。

在圆周例子中，这个类由 $(0,1)$ 的接缝差代表。自检应能说明：为什么各点茎上此障碍都消失，整体却仍非零；为什么将 $(0,1)$ 同时加上 $(c,c)$ 无法变为 $(0,0)$。这比仅说“全局截面不右正合”多给出了一份实际证书。