模层 | Codeboy's Blog

形式陈述

标量本身随位置变化时，线性代数应怎样局部化？设 $X$ 上给定交换含幺环层 $\mathcal O_X$ 。一个 $\mathcal O_X$ -模层 $\mathcal F$ 是Abel群层，并且对每个开集 $U$ ， $\mathcal F(U)$ 是 $\mathcal O_X(U)$ -模，限制映射满足

(as)|_V=(a|_V)(s|_V)\qquad(V\subseteq U).

因此各茎 $\mathcal F_x$ 自然成为 $\mathcal O_{X,x}$ -模。模层态射在每个开集上须对相应截面环线性，并与全部限制交换。

若环层不交换，同样可要求每个开集上的截面为左模、限制与左作用相容，从而定义左模层。下面的张量层公式仍采用交换环层；非交换时应将右模层与左模层作平衡张量，结果首先是 Abel 群层，不能自动当成同一环层上的左模层。

对两个模层，张量积层定义为预层

U\longmapsto\mathcal F(U)\otimes_{\mathcal O_X(U)}\mathcal G(U)

的层化，记作 $\mathcal F\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal G$ 。其茎为

(\mathcal F\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal G)_x \cong\mathcal F_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}}\mathcal G_x. \tag{1}

局部标量环、茎上的模以及剩余域上的纤维是三个不同层次，不能一律当作同一个向量空间。

直觉

在开集 $U$ 中，可用的标量是 $U$ 上的函数；缩小开集时，函数和被它乘的截面一起限制。模层要求这两种限制相容，因此能把局部方程及其解组织到同一个空间上。

光滑向量场构成光滑函数层上的模层；概形上的理想层也构成结构层上的模层。前者局部像固定秩自由模，后者可以在某些位置出现挠元、消失或失去自由性。模层这个概念允许这些不同局部行为。

例子与边界

只在原点留下内容的模层

取仿射概形 $X=\operatorname{Spec}k[x]$ ，结构层记为 $\mathcal O$ 。令

\mathcal F=\mathcal O/(x),

商在层范畴中形成。为核验其全局截面，考虑在含原点的开集上取值为 $k$ 、在不含原点的开集上取值为0的层 $\mathcal K$ 。正则函数在原点取值给出 $\mathcal O\to\mathcal K$ ；常数函数使它局部满射，其核逐茎等于 $x\mathcal O$ 。因此 $\mathcal F\cong\mathcal K$ ，特别地 $\Gamma(X,\mathcal F)=k$ 。这里没有将一般商层的全局截面擅自等同于全局截面的商。

在主开集 $D(x)$ 上， $x$ 已是单位，所以 $\mathcal F(D(x))=0$ 。在原点对应的极大理想 $\mathfrak m=(x)$ 处，

\mathcal F_{\mathfrak m}=k[x]_{(x)}/(x)\cong k.

在其他素理想处， $x$ 不属于该素理想，局部化后可逆，所以茎为0。这份层把一个代数约束集中在原点。

对比结构层本身： $\mathcal O_{\mathfrak m}=k[x]_{(x)}$ 仍包含在原点附近合法的分式，绝不等于 $k$ 。只有再商掉极大理想，得到剩余域 $\kappa(\mathfrak m)=k$ ，才是函数在该点的值。茎保留邻域内的代数关系，纤维只保留将局部标量压成点值后的结果。

张量层同样会失去左正合性

乘以 $x$ 给层短正合列

0\to\mathcal O\xrightarrow{\times x}\mathcal O\to\mathcal F\to0.

各局部环都是整环中的局部化，因此首映射确实单射。与 $\mathcal F$ 作张量积后，得到

\mathcal F\xrightarrow{0}\mathcal F\xrightarrow{\cong} \mathcal F\otimes_{\mathcal O}\mathcal F\to0,

并有 $\mathcal F\otimes\mathcal F\cong\mathcal F$ 。第一条箭变成零，因为 $x\mathcal F=0$ 。在原点茎上，它就是 $k\xrightarrow0k$ ，所以不再单射。

层化没有修复张量积固有的非左正合性；它修复的是局部粘合。两种问题不可混同。

推论与应用

张量公式为什么可以逐茎计算

茎中的纯张量由两份芽组成，先选在同一个小邻域上的代表，就能得到截面张量的一个芽。有限和也可在有限个邻域的交上同时表示，因此式 (1) 满射。

张量积中的关系只涉及有限个元素和有限次加法、平衡变换。若一个代表在茎张量积中为零，将这些有限关系全部缩到共同小邻域后，原截面张量的芽也已为零。这给单射。最后，层化不改变茎，所以得到式 (1)。

由逐茎正合判据，张量层的右正合性可还原为普通模张量积的右正合性。若每个 $\mathcal F_x$ 都是平坦 $\mathcal O_{X,x}$ -模，则与 $\mathcal F$ 张量保持短正合列；上一例的原点茎不满足这一条件。

局部Hom也组成层

正确的内部Hom层为

\mathcal Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)(U) =\operatorname{Hom}_{\mathcal O_U}(\mathcal F|_U,\mathcal G|_U).

右边是整个 $U$ 上两份限制层之间的态射，而不只是截面模之间的任意同态。若局部态射在交集一致，就对每个截面逐片作用，再用 $\mathcal G$ 的层条件粘合，得到全局态射。

如果仅写 $\operatorname{Hom}_{\mathcal O(U)}(\mathcal F(U),\mathcal G(U))$ ，则尚未规定该同态怎样对更小开集作用，也没有自动的限制映射；不能直接把它当作内部Hom的定义。

自检：在 $X=\operatorname{Spec}k[x]$ 上计算 $\mathcal F\otimes\mathcal F$ 的原点茎与 $D(x)$ 截面。答案分别为 $k\otimes_{k[x]_{(x)}}k\cong k$ 和0。再把 $\mathcal F$ 换为 $\mathcal O$ ，原点茎成为局部环本身；这一步应能保持“局部模”与“点上向量空间”的区别。

参考资料

The Stacks Project，§17.3，Tag 01AF：模层范畴、核余核与逐茎正合性。
The Stacks Project，§17.16，Tag 01CA，张量积与茎公式；§17.17，Tag 05NC，Lemma 17.17.2 的逐茎平坦判据。

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只在原点留下内容的模层 ​

张量层同样会失去左正合性 ​

张量公式为什么可以逐茎计算 ​

局部Hom也组成层 ​

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只在原点留下内容的模层

张量层同样会失去左正合性

张量公式为什么可以逐茎计算

局部Hom也组成层