Segre 嵌入

一份乘积数据由两条方向组成。将两条方向作外积，得到秩1矩阵；整体缩放不影响原来的两条射影方向。

张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。把双线性操作放进一个线性空间，Segre嵌入则找出该空间中哪些射影点来自单个纯张量。一般张量可以是多个纯张量之和，通常不在Segre像上。

P1乘P1是一张二次曲面 ​

对 $m=n=1$，映射为

按 $z_{00},z_{01},z_{10},z_{11}$ 排列，像满足

在 $z_{00}\ne 0$ 的图中，令

式 (2) 迫使 $z_{11}/z_{00}=ab$，所以该图为仿射平面 $\mathrm{Spec}k[a,b]$，逆映射为

其余三个坐标非零图同理。每点都有一张仿射平面图，因此这个二次曲面在任意特征下都光滑；不需要把特征2排除。

例如 $([1:2],[3:4])$ 的像为 $[3:4:6:8]$，满足 $3\cdot 8=4\cdot 6$。但 $[1:0:0:1]$ 对应单位矩阵，行列式为1，不在像中。

两族直线从两个因子直接出现 ​

固定 $[s:t]$、让 $[u:v]$ 变化，像为

张成的射影直线。反过来固定 $[u:v]$、改变 $[s:t]$，得到另一族直线。

同一族中不同参数的直线不相交，因为乘积中第一坐标或第二坐标不可能同时取两个不同值。来自不同族的两条直线恰交于一对已指定坐标所对应的点。因此每个曲面点都经过两条这样的直线，各来自一族。

事实上曲面上的直线只有这两族。若一条射影直线由独立秩1矩阵 $A=x{y}^{\mathsf{T}}$ 与 $B=x^{\prime }(y^{\prime }{)}^{\mathsf{T}}$ 张成，则

整条线包含于 $Q$ 要求这个关于 $t$ 的多项式恒为零，所以两因子至少一个为零。于是 $x,x^{\prime }$ 成比例或 $y,y^{\prime }$ 成比例，分别落入上述一族。这个多项式论证也适用于有限域，不能只检查有限多个有理点。

子式方程为什么足以恢复两组坐标 ​

设满足式 (1) 的射影点有 $z_{ab}\ne 0$。将全部坐标除以 $z_{ab}$，得到

所以第 $b$ 列给出第一组比例，第 $a$ 行给出第二组比例；两组的第 $a$、第 $b$ 坐标都规范为1。任意其余矩阵元素都由式 (3) 唯一确定。

这不只是一份点集逆公式。在目标 $z_{ab}\ne 0$ 图中，式 (1) 的商环恰为自由多项式环

因为所有 $z_{ij}/z_{ab}$ 被表达为 ${\xi }_i{\eta }_j$，而这些行列比值本身没有额外关系。它与乘积 $x_a\ne 0,y_b\ne 0$ 的仿射图同构。因此局部环也被完整恢复，得到概形意义公理库概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。下的闭嵌入。

双齐次方程与超平面 ​

目标超平面 $\sum c_{ij}{z}_{ij}=0$ 拉回为

分别对 $x$ 和 $y$ 都为一次，称为双次数 $(1,1)$ 的方程。它对应乘积上的线丛

截面 $x_i{y}_j$ 共同生成这份线丛，因而 Segre 也是无基点线性系产生的射影态射公理库线性系与射影映射Linear system of sections · Base-point-free linear system用线丛截面的比值构造射影态射，定位投影的基点，并以平方映射区分基点自由与闭嵌入。。这也说明 Segre 保留的是两组独立缩放后的数据，并不是把两个射影坐标列表直接串起来；串接后的列表在独立缩放两因子时通常不代表同一射影点。

自检：在 $z_{01}\ne 0$ 图中，试写第一组坐标为 $[z_{01}:z_{11}]$、第二组为 $[z_{00}:z_{01}]$，再代入式 (2) 检查其外积恢复原射影点。换图不会改变恢复出的两条方向。