箭图表示

箭图表示是一套相互连接的线性空间。改变某个顶点的坐标，会同时影响所有进出该顶点的箭头。因此不能对每条箭独立化简，化简时必须维护共享顶点的同一套坐标。

式 (1) 是两条处理路线的相等：先沿原箭头走再换坐标，与先换坐标再沿新箭头走，必须得到同一向量。选择各顶点基后，它成为协同换基公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。公式

与一个方阵的相似变换相比，这里每个顶点有自己的换基矩阵，而同一顶点的矩阵要在全部相邻公式中重复使用。

一条箭时，秩就是完整不变量 ​

取 $Q:1\to 2$，$V_1=k^2,V_2=k^3$。表示就是一个 $3\times 2$ 矩阵 $A$。在源与靶分别换基，可以把它化为具有 $r$ 个单位对角项的矩形标准形，其中 $r=0,1,2$。

以秩1矩阵

为例。在源中取 $u_1=(1,0),u_2=(-2,1)$，在靶中取 $v_1=(1,2,0),v_2=(0,1,0),v_3=(0,0,1)$。则 $A{u}_1=v_1,A{u}_2=0$，新矩阵仅左上角为1。这些基在任意特征都可用，变换矩阵行列式均为1。

秩公理库线性映射的秩Rank of a linear map · Matrix rank线性映射像空间的维数，表示其保留下来的独立输出方向数。在换基下保持，而且每个秩都到达唯一标准形，所以恰有三种同构类型。表示还分解为 $r$ 份 $k\stackrel{1}{\to }k$、$2-r$ 份 $k\to 0$ 与 $3-r$ 份 $0\to k$。

两条平行箭已经留下连续参数 ​

取两条箭 $a,b:1\to 2$，两顶点空间均为 $k$。令

同构只能在两个顶点分别乘非零标量 $s,t$。若它把 $(1,\lambda )$ 变成 $(1,\mu )$，第一条箭要求 $t=s$，第二条要求 $t\lambda =\mu s$，于是 $\lambda =\mu$。

因此当 $k$ 无限时，仅两个顶点、两条箭、维数向量 $(1,1)$ 就有无限多个同构类。两条箭的秩在 $\lambda \ne 0$ 时都为1，但比值仍不同。分别把两条箭化成恒等的做法，会为同一个顶点选出不相容的坐标。

有向图不自动要求路径交换 ​

在一个菱形图中，从同一起点到同一终点有两条路径。箭图表示只指定各条箭的线性映射，并不要求两条路径的复合相等。若问题还要求交换菱形，就须加入路径关系，得到带关系箭图公理库带关系箭图代数Bound quiver algebra · Quiver with relations用路径理想表达交换与零关系，计算交换菱形的九维商，并说明可容许条件和无关系同调公式的边界。。

子表示由各顶点子空间 $U_i\subseteq V_i$ 组成，要求 $V_a(U_i)\subseteq U_j$。直和、核、像与余核也逐顶点计算，箭头上的相容性由式 (1) 保证。

例如一个同态的核在顶点 $i$ 为 $\ker f_i$。若 $v\in \ker f_i$，则 $f_j{V}_a(v)=W_a{f}_i(v)=0$，所以箭头确实将它送入 $\ker f_j$。这使表示之间的方程、分解和正合列都可还原为具体线性代数。

一顶点一环的表示就是一个空间加一个自同态，其同构问题为矩阵相似；没有箭头的有限图则仅记录几份相互独立的向量空间。箭图因此在这两种熟悉情形之间提供了统一对象。

自检：在三顶点链 $k^2\stackrel{A}{\to }{k}^2\stackrel{B}{\to }{k}^2$ 中，令 $A=\mathrm{diag}(1,0)$。比较 $B_1=\mathrm{diag}(1,0)$ 与 $B_2=\mathrm{diag}(0,1)$。两份表示的各条箭秩都为1，但

复合也受协同换基保护，所以两者不同构。一个真正的图式不变量，必须照顾箭头之间的连接。