A 型箭图的区间分解

形式陈述

一串线性映射怎样拆成若干段连续存在的一维信号？考虑等向有限链的表示

V_1\xrightarrow{A_1}V_2\xrightarrow{A_2}\cdots\xrightarrow{A_{n-1}}V_n,

各空间有限维，基域 $k$ 任意。对 $1\le a\le b\le n$ ，区间表示 $I[a,b]$ 在顶点 $a,\ldots,b$ 上为 $k$ ，其余顶点为0；区间内部箭头为恒等，其余箭头为零。

区间分解定理断言存在如下直和

V\cong\bigoplus_{1\le a\le b\le n}I[a,b]^{\oplus m_{a,b}}, \qquad m_{a,b}\in\mathbb Z_{\ge0},

并且全部重数唯一。通过路径代数的表示—模对应，每个区间都是不可分解模：端同态在内部各顶点是标量，恒等箭迫使这些标量相同，所以端同态环为 $k$ 。

这里的信号是代数方向，不要求内积、正交性或箭头为单射。无限索引、无限维或其他箭图上的分解，须另外检查假设，不能直接套用本页结论。

直觉

一个区间有一个出生顶点，在若干连续箭头中保持为同一个独立方向，最后消失。整串映射可能混合原始坐标；定理允许在各顶点一起换基，使这些方向分别沿自己的区间前进。

关键是一起换基。分别对每个矩阵作秩分解，可能在共享顶点要求不同的基。区间分解同时对齐全部箭头，所以还能恢复任何长复合的秩。

例子与边界

一个三段分解

取

A:k^2\to k^3,\quad A(x,y)=(x,y,0), \qquad B:k^3\to k^2,\quad B(u,v,w)=(u,w).

在三个空间依次记标准基为 $e_1,e_2$ ， $f_1,f_2,f_3$ ， $g_1,g_2$ 。三条互不干扰的链为

e_1\mapsto f_1\mapsto g_1, \qquad e_2\mapsto f_2\mapsto0, \qquad 0\mapsto f_3\mapsto g_2.

所以

V\cong I[1,3]\oplus I[1,2]\oplus I[2,3]. \tag{1}

在每个顶点，这些链恰好组成原空间的基；箭头在链内为恒等或零，因此式 (1) 给出实际同构，而不只是一个维数猜测。

三个顶点上的表示分为区间I[1,3]、I[1,2]、I[2,3]；每行只连接该区间内部的一维方向。 — 三个区间分别贡献顶点维数(1,1,1)、(1,1,0)、(0,1,1)；箭头上的1为恒等，0表示零空间

三个顶点维数为 $(2,3,2)$ ，相邻秩为2、2，长复合 $BA(x,y)=(x,0)$ 的秩为1。最后这个秩恰好数出只有一段跨过全部三个顶点。

相邻秩还不足以恢复区间

在维数 $(1,2,1)$ 上，固定 $A(x)=(x,0)$ 。若 $B_1(u,v)=u$ ，则分解为 $I[1,3]\oplus I[2,2]$ ；若 $B_2(u,v)=v$ ，则分解为 $I[1,2]\oplus I[2,3]$ 。

两种情形的相邻秩都是1、1，但 $B_1A$ 的秩为1， $B_2A$ 的秩为0。区间重数要看所有复合，不能只看每条箭各自保留多少维。

推论与应用

存在性的直接分离构造

若表示非零，取最早的非零顶点 $a$ ，所以 $V_i=0$ 对 $i<a$ 。记 $F_{i,j}=A_{j-1}\cdots A_i$ ，并令 $F_{i,i}=1$ 。取最大的 $b\ge a$ 使 $F_{a,b}\ne0$ ，再选 $v_a$ 使 $v_b=F_{a,b}v_a\ne0$ 。

定义 $v_i=F_{a,i}v_a$ （ $a\le i\le b$ ）。这些向量全部非零，否则后面的 $v_b$ 也会为零。若 $b<n$ ，最大性保证 $A_bv_b=0$ ，所以它们给出一个 $I[a,b]$ 子表示。

要把它分离为直和项，还需一个回缩。在 $V_b$ 上选线性泛函 $\lambda_b$ ，使 $\lambda_b(v_b)=1$ ；然后令

\lambda_i=\lambda_bF_{i,b}\qquad(a\le i\le b),

区间外取零。内部有 $\lambda_{i+1}A_i=\lambda_i$ ，起点前的交换条件因 $V_{a-1}=0$ 自动成立，终点后的条件也因目标区间空间为0成立。因此这族泛函是表示同态 $V\to I[a,b]$ ，并在所选区间子表示上为恒等。

它的核给出补表示。总维数严格减少，重复这一操作，有限步后得到全部区间。这个证明实际说明了如何寻找兼容的顶点基，不是分别化简各条箭。

全部复合秩决定唯一重数

定义

r_{i,j}=\operatorname{rank}F_{i,j}\qquad(1\le i\le j\le n).

一个区间 $I[a,b]$ 对 $r_{i,j}$ 贡献1，当且仅当 $a\le i\le j\le b$ 。因此

r_{i,j}=\sum_{a\le i,\ b\ge j}m_{a,b}.

先按起点取差，再按终点取差，得到

m_{a,b}=r_{a,b}-r_{a-1,b}-r_{a,b+1}+r_{a-1,b+1}, \tag{2}

约定 $r_{0,j}=0$ 、 $r_{i,n+1}=0$ 。这直接证明重数唯一。也可在已经构造出不可分解区间直和后，应用Krull–Schmidt 定理得到唯一性；不同区间的顶点支撑不同，所以不可能同构。

对式 (1) 的例子，六个秩为

r_{11}=2,r_{22}=3,r_{33}=2, \quad r_{12}=2,r_{23}=2,r_{13}=1.

代入式 (2)，得到 $m_{13}=m_{12}=m_{23}=1$ ；例如

m_{22}=3-2-2+1=0,

其余单点区间也为零。将重数重新求和，正好恢复全部复合秩。

怎样验收一份分解

一份完整答案要交出区间多重集、各顶点兼容基，并从这些基恢复全部箭头。只报一张区间图，还可能掩盖错误的基对应；只报相邻秩，则连区间多重集都未确定。

对上述 $(2,3,2)$ 例子，三个顶点分别要出现2、3、2条区间，跨每条相邻箭的区间都为2条，横跨整链的只有1条。再把三组明确基向量代回 $A,B$ ，才能完成双重核验。

参考资料

C. M. Ringel，“Quivers and their representations”，§1.5：A型箭图的不可分解表示及子空间配置。本文针对等向有限链给出逐次分离区间的完整回缩构造。

形式陈述 ​

一个三段分解 ​

相邻秩还不足以恢复区间 ​

存在性的直接分离构造 ​

全部复合秩决定唯一重数 ​

怎样验收一份分解 ​