Krull–Schmidt 分解定理

存在性容易：能拆就继续拆，维数总在下降。唯一性的困难是，两次拆分的分量可能斜着穿过彼此，不能逐个比较它们在原模中的位置。

证明需要找出某一对块之间真正可逆的往返映射。有限维使不可分解块的端同态非常受限：每个端同态不是可逆，就是幂零。于是恒等映射不可能由一批永远不可逆的往返映射相加得到。某一对块必能匹配，然后才能安全地移除它们。

单算子的块分解 ​

令

乘 $t$ 的矩阵为两个零特征值的二阶 Jordan 块和一个标量1。前两个块的端同态环各为 $k[t]/(t^2)$，没有非平凡幂等元；最后一个块一维。因此这是不可分解直和分解。

任意另一分解必须含两份 $k[t]/(t^2)$ 和一份 $k[t]/(t-1)$，不能改成四份 $k[t]/(t)$ 加一份 $k[t]/(t-1)$。后者有相同的组成因子公理库模的组成列与 Jordan–Hölder 定理Composition series of a module · Jordan–Hölder theorem for modules用两条不同组成列展示因子多重集不变，以子模交叉比较证明唯一性，并计算不分裂扩张的长度。，但乘 $t$ 在零特征主分量上的秩由2变成0。

这说明两个唯一性定理各自保留不同信息：Jordan–Hölder 记录单商，Krull–Schmidt 记录原模中真实的直和块。

唯一不意味着分量位置唯一 ​

让 $k[t]$ 的生成元 $t$ 在 $k^2$ 上作用为零，常数仍按通常标量作用。两条坐标轴给出两个一维块，直线 $k(1,0)$ 与 $k(1,1)$ 也给出两个一维块。它们是同样的两份单模，但在 $k^2$ 中的位置不同。定理没有指定一套首选子模或首选基。

第一步：Fitting 核像分解 ​

设 $f:M\to M$ 为模端同态。有限维使 $\ker f^n$ 与 $\mathrm{im}{f}^n$ 的链最终稳定。取足够大的 $n$，使 $\ker f^{2n}=\ker f^n$。若

写 $x=f^{n}y$，则 $f^{2n}y=0$，稳定性给 $f^{n}y=0$，所以 $x=0$。再对底层线性映射的核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。应用秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。，由维数之和等于 $\dim M$，得到

两项都是子模。若 $M$ 不可分解，其中一项必为零；故 $f$ 或为幂零，或为单射，后一种在有限维下即为可逆。

第二步：不可逆端同态形成理想 ​

令 $E={\mathrm{End}}_A(M)$，其中 $M$ 不可分解。若 $f$ 不可逆，则任意 $af$、$fa$ 都不可逆：否则有限维性会分别迫使 $f$ 单射或满射，从而可逆。

若不可逆的 $f,g$ 之和可逆，左乘 $(f+g{)}^{-1}$，得到两个仍不可逆的端同态 $u,v$，满足 $u+v=1$。由式 (1)，$u$ 幂零，故 $1-u$ 可逆，其逆为有限几何级数；但 $1-u=v$，矛盾。因此不可逆端同态对加法封闭，也对取负封闭，形成真双边理想。

这就是说 $E$ 是一个可能非交换的局部环。所用事实是“全部非单位形成理想”，无需将它误当作交换局部环的特殊情况。

第三步：找出可交换的一对块 ​

设

为两种不可分解分解。将恒等映射 $1_{U_1}$ 经过第二种分解展开，有

由于不可逆端同态形成理想，至少一个 $a_j{b}_j$ 可逆。令 $b_j^{\prime }=b_j(a_j{b}_j{)}^{-1}$，则 $a_j{b}_j^{\prime }=1$，所以

第一项非零，$V_j$ 不可分解迫使第二项为零，故 $V_j\cong U_1$。

还须证明能在原分解中移除这对块。投影 $M\to V_j$ 限制到 $U_1$ 正是可逆的 $b_j$，因此

确实，每个向量可减去唯一的 $U_1$ 分量使其 $V_j$ 投影为零，交也因此为零。对这个共同的 $U_1$ 取商模公理库商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。，再对所得较小维数的模应用数学归纳法公理库数学归纳法Mathematical induction · Weak induction由基例和从 n 到 n+1 的归纳步推出性质对全部自然数成立。，便完成唯一性证明。这里没有未经证明地使用“同构直和项总能消去”。

可核验的分解证书 ​

实际计算时，一份分解证书应包含各子模的嵌入和投影，满足 $p_i{i}_j={\delta }_{ij}$、$\sum _i{i}_i{p}_i=1$，并证明每块不可分解。只报告块的维数不足以让定理发挥作用。

例如两个平行箭头的一维参数表示 $(1,\lambda )$ 都不可分解，但不同 $\lambda$ 给不同块。唯一性保护的是块的同构类型，不会将同维的不同参数块视为相同。