投射盖

投射性使 $P$ 容易向上提升映射；盖的条件则要求 $P$ 已经足够紧凑。它的每个真正的子模都漏掉 $M$ 的某些信息。

式 (1) 把这种最小性放在顶层公理库根层与基座层Radical filtration · Socle filtration · Loewy filtration从根的像与零化子构造两条典范滤过，完整计算四维模，并用二维参数族说明层数据不能分类模。上检查。核可以藏在根层里，却不能删掉一个本来已在顶层出现的生成方向。因此投射盖诱导

需要保留的是顶层的模结构，不只是顶层总维数。

截断多项式模的投射盖 ​

取 $A=k[t]/(t^3)$、$M=A/(t^2)$。自然商映射 $A\to M$ 的源是自由秩1模，核为 $(t^2)\subseteq JA=(t)$，所以它是投射盖。

相反，映射

虽然也是投射满射，却不是盖：真子模 $A\oplus 0$ 已经满射到 $M$。其核包含 $0\oplus A$，这部分不在 $J{A}^2$ 中，式 (1) 也会发现冗余。

一条箭的两个单模需要不同盖 ​

对箭图 $1\to 2$，在路径代数公理库路径代数Path algebra由可复合路径构造代数，证明箭图表示与模的双向对应，并将三顶点链落实为六维下三角矩阵代数。的表示语言中令

它们分别等于 $kQ{e}_1,kQ{e}_2$，是正则模的直和项，故投射。单模 $S_1=(k\to 0)$ 的盖是 $P_1\to S_1$，核为 $(0\to k)=S_2$；$S_2$ 的盖则是恒等 $P_2=S_2$。

因此一个单模本身未必投射。$S_1$ 虽已不能再取单商，仍需要一个包含第二顶点的投射对象来承载它。

小核与根层条件等价 ​

由根滤过的刻画，$JP$ 是 $P$ 的全部极大子模之交。如果 $K⊈JP$，可取一个极大子模 $N$ 不包含 $K$，于是 $N+K=P$ 而 $N\ne P$，所以 $K$ 不小。

反过来，若 $K\subseteq JP$ 且 $N+K=P$，则商 $Q=P/N$ 满足 $Q=JQ$。不断代入得到 $Q=J^{r}Q$，而 $J$ 幂零，故 $Q=0$，即 $N=P$。这证明式 (1)。

对于满射 $p$，$p(JP)=JM$，且

因此在核落入 $JP$ 时，顶层同构随之成立；反向若顶层映射单射，核也必须落在 $JP$。

有限维下的存在性 ​

先从某个有限自由模满射到 $M$。在所有有限维投射满射 $p:P\to M$ 中，选择源维数最小者。假如真子模 $N⊊P$ 仍满射到 $M$，投射性使 $p$ 沿 $N\to M$ 提升，得到端同态 $h:P\to P$，满足

$h$ 不可逆。由 Fitting 核像分解公理库Krull–Schmidt 分解定理Krull–Schmidt theorem由Fitting核像分解和局部端环证明不可分解直和块唯一，并明确匹配分量后的安全消去步骤。，足够大 $r$ 时 $\mathrm{im}{h}^r$ 是 $P$ 的真直和项，所以仍投射，维数更小。而 $p{h}^r=p$ 保证它仍满射到 $M$，与最小选择矛盾。因此 $p$ 是盖。

唯一性与最小分解 ​

若 $p:P\to M$、$q:Q\to M$ 都为投射盖，投射性给 $f:P\to Q$、$g:Q\to P$，使 $qf=p$、$pg=q$。于是 $pgf=p$。由盖的性质，$\mathrm{im}(gf)=P$；有限维使 $gf$ 可逆。同理 $fg$ 可逆，故 $f$ 是覆盖 $M$ 的同构。

逐次对核取投射盖，便得到最小投射分解。以 $A=k[t]/(t^3)$ 的单模 $k=A/(t)$ 为例，首个核为 $(t)$，它的盖 $A\to (t)$ 由乘 $t$ 给出；其核为 $(t^2)$，下一步由乘 $t^2$ 给出。于是得到交替微分

乘 $t$ 的核为 $(t^2)$，乘 $t^2$ 的核为 $(t)$，所以该复形逐项正合。每个像都位于下一项的根中，正体现了“没有可以直接消去的恒等块”。

自检：投射盖的唯一性不意味着覆盖映射只有一个。不同自同构可改变 $p$ 的表达；定理保证存在与目标恒等映射相容的同构，而不保证这个同构本身唯一。