内射包络

投射盖公理库投射盖Projective cover用小核和顶层同构刻画投射盖，以最小维数与Fitting分解证明存在唯一，并构造截断多项式模的最小分解。从外面满射到目标，要求源不能再缩小；内射包络把目标放进更大的空间，要求新增部分没有完全绕开目标的独立子模。

任何非零子模都必须碰到原模，意味着不能从包络里切出一个与原模毫无接触的分量。因此“添加一个任意内射直和项”通常会破坏本质性，虽然总对象仍内射。

截断多项式环中的最小内射扩张 ​

令 $A=k[t]/(t^3)$，定义线性函数 $\lambda :A\to k$ 为读取 $t^2$ 系数。配对

在基 $1,t,t^2$ 下的矩阵为

行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为 $-1$，在任意特征都非零。故 $a\mapsto (b\mapsto \lambda (ba))$ 给出左 $A$-模同构 $A\cong D(A)$，其中 $D={\mathrm{Hom}}_k(-,k)$。

右正则模 $A$ 自由，所以其对偶 $D(A)$ 内射，理由见下节。于是 $A$ 自身是内射左模。

将单模 $k=A/(t)$ 嵌入 $A$ 为 $k{t}^2$。任意非零元素 $a_0+a_{1}t+a_2{t}^2$，取最低非零次数 $r$，再乘 $t^{2-r}$，就得到非零的 $t^2$ 倍数。因此每个非零子模都与 $k{t}^2$ 相交，这个嵌入本质。结论是

不是仅一维的 $k$ 本身。

若换成 $k\hookrightarrow A\oplus A$，仍把它放在第一项的 $k{t}^2$ 中，则第二项是一个与 $k$ 零交的非零子模。因此这个内射扩张不是包络。

不能把所有有限维代数都当作自身内射 ​

在箭图 $1\to 2$ 中，令 $S_2=(0\to k)$、$P_1=(k\stackrel{1}{\to }k)$。若 $S_2$ 内射，恒等 $S_2\to S_2$ 应能从包含 $S_2\subset P_1$ 延拓为 $P_1\to S_2$。

但交换方块要求第二顶点映射乘以箭头恒等后为零，故第二顶点映射只能为零，不能限制成恒等。于是 $S_2$ 不内射。它却是一个投射模，说明有限维条件并未使投射与内射成为同一性质。 这条箭图的路径代数作为左正则模为 $A=P_1\oplus S_2$；若 $A$ 自身内射，其直和项 $S_2$ 也会内射，与上面的延拓失败矛盾。

对偶把投射对象变成内射对象 ​

有限维向量空间对偶公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。是反变正合函子，并自然满足 $D(DM)\cong M$。左右作用按

互换；这也可以用相反代数公理库相反代数与双模Opposite algebra · Bimodule用矩形矩阵说明右作用为何反转复合，构造双模的张量积代数作用并核验端同态环中的 op。表述。

若 $P$ 为有限生成投射右 $A$-模，则对任意左模 $X$，有自然同构

右侧先作平衡张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。再取对偶。$P$ 是有限自由右模的直和项，所以 $P{\otimes }_A-$ 正合；向量空间的对偶也正合。因此左侧 Hom 函子正合，$DP$ 内射。这一论证实际允许 $X$ 任意维。

从投射盖构造包络 ​

给右模 $DM$ 取投射盖公理库投射盖Projective cover用小核和顶层同构刻画投射盖，以最小维数与Fitting分解证明存在唯一，并构造截断多项式模的最小分解。 $p:P\twoheadrightarrow DM$，核记为 $K$。对偶得到

且 $DP$ 内射。

证明嵌入本质。利用有限维非退化对偶，将 $M$ 视为 $K^{\perp }\subset DP$。若非零子模 $N\subset DP$ 与 $M$ 零交，则线性代数的零化子公式给

$N^{\perp }$ 是真右子模，而投射盖的小核条件要求 $N^{\perp }=P$，矛盾。故 $M\subset DP$ 确为内射包络。

唯一性不需要指定一份首选延拓 ​

设 $M\subset E$、$M\subset E^{\prime }$ 都是内射包络。$E^{\prime }$ 的内射性把 $M$ 上的恒等映射延拓为 $f:E\to E^{\prime }$。由于 $\ker f\cap M=0$，本质性迫使 $\ker f=0$。

$E$ 内射，故其像 $f(E)$ 在 $E^{\prime }$ 中有一个直和补项 $C$。这个 $C$ 与 $M$ 零交，再由 $M\subset E^{\prime }$ 的本质性得到 $C=0$。所以 $f$ 为同构。相同论证说明，包络内任何包含 $M$ 的内射子模都已是整个包络。

延拓通常不唯一，因此内射包络不是“到所有内射扩张都有唯一箭头”的泛对象。唯一的是带嵌入的对象的同构类型；不要把存在唯一同构类误写成唯一同态。

自检：在 $A=k[t]/(t^3)$ 中，把 $A/(t^2)$ 送到理想 $(t)$，映射为 $\overline{f}\mapsto tf$。它单射，且 $(t)$ 包含基座 $(t^2)$，仍与每个非零子模相交。因此这份二维模的内射包络也为三维 $A$。包络大小取决于作用结构，不能仅按“多添一个维数”来定义。