根层与基座层

根层从上往下看：先忽略所有可以由根中操作产生的向量，得到最外面的半单商；再问这些被忽略的向量内部还藏着多少层。

基座层从下往上看：先找那些已经被根完全杀掉的向量；将它们商去后，再找新出现的最底层。两边使用同一个 $J$，却通常得到不同的中间子模。

Jordan–Hölder 定理公理库模的组成列与 Jordan–Hölder 定理Composition series of a module · Jordan–Hölder theorem for modules用两条不同组成列展示因子多重集不变，以子模交叉比较证明唯一性，并计算不分裂扩张的长度。只保证最终的单模材料清单一致；根与基座滤过进一步告诉我们，哪些材料在顶部或底部同时出现。它们仍不记录所有层间连接方式。

四维模的两条典范滤过 ​

取

选基 $u,v,w,z$，使

这里 $J=(t)$。从像得到根滤过：

维数依次为 $4,2,1,0$。从核得到基座滤过：

维数依次为 $0,2,3,4$。

顶层 $M/JM$ 由 $\overline{u},\overline{z}$ 生成，含两个单模；基座由 $w,z$ 生成，也含两个单模，但它们并不是同一份子空间数据。两条滤过都需三步走到尽头，Loewy 长度为3。

层相同，连接参数仍可能不同 ​

令

对每个 $\lambda \in k$，在二维空间 $M_{\lambda }=kv+kw$ 上规定

所有次数二乘积作用为零，故确为 $B$-模。根为 $(x,y)$，每个 $M_{\lambda }$ 的顶层和基座都各为一个相同的单模，且 $J{M}_{\lambda }=kw$。

若 $F:M_{\lambda }\to M_{\mu }$ 是模同构，记两边 $x$ 的非零作用为 $N$。由 $FN=NF$ 以及 $F\lambda N=\mu NF$，得到

$F$ 可逆且 $N\ne 0$，所以 $\lambda =\mu$。因此即使两条滤过的全部层都相同，模也可能不同构。

根就是所有单商都看不见的部分 ​

每个从 $M$ 到单模的同态都杀掉 $JM$，所以 $JM$ 包含在所有极大子模之交中。反过来，$M/JM$ 是半单模公理库半单模Semisimple module · Completely reducible module用R-线性投影和有限增大过程证明半单模的补模刻画，比较矩阵列分解与双数环的不分裂理想。，因为 $J$ 作用为零，而 $A/J$ 是半单代数。

若 $m\notin JM$，它在半单商中有一个非零单分量；投影到该分量给出一个单商，不杀掉 $m$。因此 $m$ 不属于对应极大子模。于是

特别地，任何到半单模的映射都经过 $M/JM$。这说明顶层是最大的半单商，而不是任意选择出来的一组组成因子。

基座为什么是被根杀掉的向量 ​

根杀掉每个单子模，所以 $\mathrm{soc}M\subseteq \{m:Jm=0\}$。后者本身是一个 $A/J$-模，因而半单，必包含在最大的半单子模中。两者相等。

将这个结论用于 $M/{\mathrm{soc}}^{i}M$，得到

归纳即证式 (1)。同样，$J$ 杀掉 $J^{i}M/J^{i+1}M$，所以每个根层都半单。由于 $J$ 幂零，两条滤过都在有限步结束。

按层核验映射 ​

任意模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。 $f:M\to N$ 都满足

前者由 $f(am)=af(m)$，后者由 $J^{i}m=0\Rightarrow J^{i}f(m)=0$。因此各层数据可作为模同构的必要条件，也能帮助构造最小的投射盖公理库投射盖Projective cover用小核和顶层同构刻画投射盖，以最小维数与Fitting分解证明存在唯一，并构造截断多项式模的最小分解。与内射包络公理库内射包络Injective envelope · Injective hull用本质扩张刻画内射包络，从有限维投射盖经对偶构造它，并显式计算k[t]/(t³)上单模的包络。。

自检：删去四维例子中的独立向量 $z$，剩下 $A$ 的正则模。根层为 $A\supset (t)\supset (t^2)\supset 0$，基座层为 $0\subset (t^2)\subset (t)\subset A$，这次两条链恰好反向一致。加入一个被 $t$ 立即杀掉的独立分量后，这种巧合就消失了。不能把一个 Jordan 长链中的对称图形当作一般定理。