箭图表示的 Hom–Ext 计算复形

$C^0$ 是在每个顶点随意选一个映射，还没管它们能否组成表示同态。$\delta$ 测量每条箭的方块有多不交换。缺陷全为零，就是 Hom。

同一份“箭头缺陷”也能描述扩张：在每个顶点先把短正合列按向量空间拆开，箭头矩阵中的非对角块记录两个端点表示怎样接合。改变局部拆法会改变这些块，但只改变一个 $\delta f$。因此真正的扩张信息恰是余核。

一条箭给出一个可手算的非分裂扩张 ​

对 $1\to 2$，取 $V=S_1=(k\to 0)$、$W=S_2=(0\to k)$。每个同顶点 Hom 都为零，所以 $C^0=0$；箭头对应的 $\mathrm{Hom}(k,k)=k$，所以 $C^1=k$。于是

扩张参数 $\lambda \in k$ 对应中间表示 $E_{\lambda }=(k\stackrel{\lambda }{\to }k)$，得到

$\lambda =0$ 时中间表示为 $S_1\oplus S_2$，正合列分裂；$\lambda \ne 0$ 时若有截面 $S_1\to E_{\lambda }$，源顶点映射必须为恒等，但箭头交换要求 $\lambda =0$，矛盾。

所有非零 $\lambda$ 的中间表示彼此同构，却代表不同的扩张类：扩张等价要求同时固定左右端点，而任意表示同构可以缩放这些端点。这个差别不能从“中间矩阵相似”中省掉。

实际组装一个小矩阵 ​

仍取单箭头，令 $V=W=(k\stackrel{1}{\to }k)$。此时

差分满射，核为对角线。所以 End 为 $k$，而自扩张群为零。这个表示虽然不是单模，却没有自扩张；单性、不可分解性与自扩张消失又是不同问题。

非对角块给出余核的直接证明 ​

给扩张 $0\to W\to E\to V\to 0$，在每个顶点选择向量空间截面，将 $E_i$ 写为 $W_i\oplus V_i$。箭头必须形如

没有额外路径关系时，任意这些 $z_a$ 都给一个表示及扩张。

若将第 $i$ 个截面改成原截面加 $f_i:V_i\to W_i$，直接代入矩阵换基，新的非对角块为

反过来，任何固定端点的扩张同构在各顶点都具有这种上三角、对角为恒等的形状。因此等价类正是 $C^1/\mathrm{im}\delta$。按纤维积再推并构造 Baer 和时，非对角块相加，所以这个对应也保持 Ext 群的加法。

路径给出长度一的投射分解 ​

以下分解中的 ${\otimes }_k$ 是张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。。令 $P_i=kQ{e}_i$，它由从顶点 $i$ 出发的路径张成，是正则路径代数模公理库路径代数Path algebra由可复合路径构造代数，证明箭图表示与模的双向对应，并将三顶点链落实为六维下三角矩阵代数。的投射直和项。存在投射分解公理库投射分解Projective resolution以投射模组成并在正次数无同调的增广链复形逼近给定模。

其中

$d$ 的两项分别落在 $i$、$j$ 标记的直和项。商掉其像后，可以逐箭把路径从张量左侧搬到 $v$ 的作用上，最后只剩终点的长度0路径，故余核正是 $V$。

$d$ 还单射。若一份非零有限线性组合落入核，取其中最长的 $p$；第一项 $pa$ 比对应第二项长一步。正长度路径的第一条箭和余下路径唯一，因此最长的这些第一项无法互相抵消，也无法被更短的第二项抵消，矛盾。

应用 ${\mathrm{Hom}}_Q(-,W)$，再用 ${\mathrm{Hom}}_Q(P_i,W)\cong W_i$，便恢复式 (2)，并得到所有 $n\ge 2$ 的 ${\mathrm{Ext}}_Q^n(V,W)=0$。

维数检查与执行规模 ​

设 $c_0=\sum _i\dim V_i\dim W_i$、$c_1=\sum _{a:i\to j}\dim V_i\dim W_j$。选基后，$\delta$ 是一个 $c_1\times c_0$ 矩阵；逐顶点未知矩阵代入式 (1) 即可组装。对组装后的矩阵做稠密 Gaussian 消元公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。，其域算术成本可界为 $O(c_0{c}_{1}min(c_0,c_1))$，存储为 $O(c_0{c}_1)$；稀疏实现可能更省。

若秩为 $r$，秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。给

两者相减不再含 $r$，这就是箭图 Euler 型公理库箭图的 Euler 双线性型Euler form of a quiver · Tits quadratic form由顶点未知数减箭头方程建立Euler型，以参数族说明信息边界，并完成区间、End–Ext与非零扩张的三方验算。的来源。可靠的计算应保留 $\delta$ 的矩阵及核/余核证书，而不仅报告一个维数。