箭图的 Euler 双线性型

形式陈述

只知道顶点维数，能先算出 Hom 与 Ext 的哪个组合？对有限无环箭图 $Q$ ，定义整数向量上的 Euler 双线性型

\langle d,e\rangle_Q =\sum_{i\in Q_0}d_ie_i-\sum_{a:i\to j}d_ie_j. \tag{1}

若 $V,W$ 为有限维表示，则

\langle\dim V,\dim W\rangle_Q =\dim_k\operatorname{Hom}_Q(V,W) -\dim_k\operatorname{Ext}^1_Q(V,W). \tag{2}

方向会改变双线性型

对 $1\to2$ ，取 $d=(1,0)$ 、 $e=(0,1)$ 。有

\langle d,e\rangle=-1, \qquad\langle e,d\rangle=0.

相应单模满足 $\operatorname{Ext}^1(S_1,S_2)\cong k$ ，反方向 Ext 为零。二者之间没有非零 Hom，所以式 (2) 的两个方向正好给出 $-1$ 与0。

将箭反向会交换这两个值，但二次型始终为 $q(x,y)=x^2+y^2-xy$ 。

同一个二次型值不能决定分解

在 $1\to2$ 的维数向量 $(1,1)$ 上，无论箭头为0还是为1，都有 $q(1,1)=1$ 。箭头为1时 End 一维、Ext¹为0，表示不可分解；箭头为0时它是 $S_1\oplus S_2$ ，End 二维、Ext¹一维。

因此“ $q(d)=1$ ”并不自动说明某份给定表示不可分解。它只约束两个空间的维数差，箭头矩阵仍携带必要信息。

平行箭留下的自扩张

对 Kronecker 箭图，两条箭都从1到2，故

q(x,y)=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2.

取表示 $V_\lambda=(k\overset{1,\lambda}{\rightrightarrows}k)$ 。其 End 由两个标量 $a,b$ 满足 $a=b$ ，故为一维。由于 $q(1,1)=0$ ，式 (2) 给自扩张维数也为1。

直接计算Hom–Ext 差分可再核验： $\delta(a,b)=(a-b,\lambda(a-b))$ ，像是一条直线，余核一维。不同 $\lambda$ 的表示不同构，Euler 型却全部相同。

推论与应用

为什么维数差只由图决定

在 Hom–Ext 复形中，令 $r=\operatorname{rank}\delta$ 。顶点空间之和维数为 $c_0=\sum_i d_ie_i$ ，箭头空间之和维数为 $c_1=\sum_{a:i\to j}d_ie_j$ 。于是

\dim\operatorname{Hom}-\dim\operatorname{Ext}^1 =(c_0-r)-(c_1-r)=c_0-c_1,

这就是式 (2) 的完整证明机制。无关系路径代数的高阶 Ext 消失，因而没有被遗漏的后续交替项。

若加入路径关系，除了交换方块还必须检查关系对扩张块的约束，高阶 Ext 也可能出现。这时只用顶点减箭头的式 (1)，一般不再等于所有实际 Hom–Ext 数据的 Euler 交替和。

单元任务：分解、线性方程与Euler型三方核对

给定

V:k^2\xrightarrow{A}k^3\xrightarrow{B}k^2, \quad A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

要求构造区间分解、求 End 和 Ext¹ 的维数，并给出一个非零自扩张类的证书。

解答第一步：真实分解。 三条基链分别为

e_1\to f_1\to g_1,\qquad e_2\to f_2\to0,\qquad 0\to f_3\to g_2.

所以分解为 $I[1,3]\oplus I[1,2]\oplus I[2,3]$ 。顶点维数为 $(2,3,2)$ ，两条箭秩为2，长复合秩为1，与区间秩公式一致。

第二步：所有端同态。 设三顶点端同态为 $F_1,F_2,F_3$ 。由 $AF_1=F_2A$ 、 $BF_2=F_3B$ ，逐项解得

F_1=\begin{pmatrix}\alpha&0\\\beta&\gamma\end{pmatrix},\quad F_2=\begin{pmatrix}\alpha&0&\delta\\\beta&\gamma&\varepsilon\\0&0&\zeta\end{pmatrix},\quad F_3=\begin{pmatrix}\alpha&\delta\\0&\zeta\end{pmatrix}.

六个参数任意，因此 $\dim\operatorname{End}(V)=6$ 。差分矩阵有 $4+9+4=17$ 个输入坐标、 $6+6=12$ 个输出坐标，秩为 $17-6=11$ ，所以 $\dim\operatorname{Ext}^1(V,V)=12-11=1$ 。

第三步：不用矩阵求Euler型。 从图直接算

q(2,3,2)=2^2+3^2+2^2-2\cdot3-3\cdot2=5.

线性方程结果给 $6-1=5$ ，相符。这个核验能发现把一条箭的起终点或矩阵尺寸写反的错误。

第四步：非零类代表。 一个一阶块数据为 $(Z_A,Z_B)$ ，尺寸分别为 $3\times2$ 与 $2\times3$ 。定义

\ell(Z_A,Z_B)=(Z_A)_{32}+(Z_B)_{22}.

对 $\delta(F_1,F_2,F_3)=(AF_1-F_2A,BF_2-F_3B)$ ，两项分别为 $-(F_2)_{32}$ 和 $(F_2)_{32}$ ，所以 $\ell\delta=0$ 。取 $Z_A$ 只有 $(3,2)$ 项为1、 $Z_B=0$ ，便有 $\ell=1$ ，因此它不在差分像中，确实给非分裂自扩张。因余核一维，这个类还是一组基。

验收。 要交出各顶点基链、六参数端同态解、差分的尺寸与秩、Euler数5及非零余核代表。仅说“由Euler型知Ext为1”还不够，因为那需要独立知道End维数6。

参考资料

C. M. Ringel，“Dynkin quivers, Euclidean quivers, wild quivers”，§§6.2–6.3：Euler双线性型与二次型。
同作者，“Extensions”，§§5.6–5.7：维数恒等式所用的Hom–Ext正合列与标准分解。三顶点任务的六参数解和余核泛函由本文直接计算。

形式陈述 ​

方向会改变双线性型 ​

同一个二次型值不能决定分解 ​

平行箭留下的自扩张 ​

为什么维数差只由图决定 ​

单元任务：分解、线性方程与Euler型三方核对 ​

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