不可分解模

一次直和分解等价于一块合法投影。沿一个分量保留、沿另一分量清零的算子必须与所有标量作用相容，才算模内部的投影。

因此判断不可分解时，不用逐个猜测全部子模和补模。先找所有允许的自映射，再看其中能否容纳一个非平凡投影。单个生成元时这是矩阵交换方程，多生成元或箭图时则是一组相互耦合的交换方块。

一个有子模却没有合法投影的二维模 ​

令 $t$ 在 $k^2$ 上作用为

$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 为 $k[t]$-模端同态，当且仅当 $XN=NX$。逐项比较得到 $c=0,d=a$，所以

要求 $(aI+bN{)}^2=aI+bN$，得到

域中 $a$ 只能为0或1，此时 $2a-1$ 分别为 $-1$ 或1，即使特征为2也非零。因此 $b=0$，幂等元只有0和1，$M$ 不可分解。

但 $k{e}_1=\ker N$ 是真非零子模，所以 $M$ 不单。端同态代数还含非零幂零元 $N$；不可分解并不意味着其端同态代数一定是除环。

三条直线锁住一个二维中心 ​

考虑四顶点箭图，三个一维叶空间都指向二维中心 $k^2$，映射的像分别为

一个表示端同态在中心为矩阵 $T$。前两条箭要求它保持两条坐标轴，所以 $T=\mathrm{diag}(a,b)$；第三条箭要求保持 $k(1,1)$，于是 $a=b$。三个叶上的标量也必须都是同一个 $a$。

故整个表示的端同态代数为 $k$，只能有0、1两个幂等元，该表示不可分解。它仍非单：将全部叶空间取0、中心取任意一条直线，就得到真非零子表示。这个例子说明，“端同态只有标量”在一般表示中也不推出单性。

幂等元必须在正确的端同态环内 ​

对 $M_2(k)$ 的自然模 $k^2$，线性投影 $e_{11}$ 确实幂等，却不是 $M_2(k)$-模端同态。它不与 $e_{12}$ 交换，因此不符合式 (1)。忽略 $R$-线性，会把本来单的自然模错误地拆开。

幂等判据的双向证明 ​

若 $e^2=e$，则 $\mathrm{im}e$ 与 $\ker e$ 都是子模。每个 $m$ 可写为

第二项在核中。若 $x=e(y)$ 同时在核中，则 $0=e(x)=e^2(y)=e(y)=x$，所以交为零。得到

这只使用模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。的核与像都是子模，以及模线性，不需要有限维。

反向若 $M=N\oplus P$，投影 $e(n+p)=n$ 为模端同态，且 $e^2=e$。当两项都非零时，$e$ 既非0也非1，证明式 (1)。

有限维保证存在某种不可分解分解 ​

若有限维 $M$ 尚可分解，就将它拆成两个维数更小的非零子模，再分别继续。每个最终分量至少一维，所以过程有限终止。它给出不可分解块的存在；不同拆法是否最终相同，还需要 Krull–Schmidt 定理公理库Krull–Schmidt 分解定理Krull–Schmidt theorem由Fitting核像分解和局部端环证明不可分解直和块唯一，并明确匹配分量后的安全消去步骤。。

自检：令 $M=k^2$ 且 $t$ 作用为零。所有 $2\times 2$ 矩阵都与该作用交换，所以 $e=\mathrm{diag}(1,0)$ 是非平凡模幂等元，其像与核分别为两条坐标轴。两份二维模的组成因子相同，区别却已经被端同态环中的投影清楚识别。