路径代数

路径记录可连续执行的操作串。向量空间允许把不同路径线性组合，代数乘法则复合这些操作。端点不匹配意味着根本无法接着运行，代数中就用零表示。

长度0的路径并非空余装饰。它们是检查当前所在顶点的投影：一个表示的总空间是各顶点空间的直和，$e_i$ 正好提取第 $i$ 份。若删去这些路径，就会失去每个顶点的单位动作和总单位。

结合律也可在路径上直接检查。对 $p,q,r$，若两个接缝都匹配，$(pq)r$ 与 $p(qr)$ 是同一条串接路径；只要一个接缝不匹配，两边都为零。双线性再把结论推广到路径的线性组合。

三顶点链给出六维三角代数 ​

取

全部路径为 $e_1,e_2,e_3,a,b,ba$，因此 ${\dim }_{k}kQ=6$。将它们依次送到

给出 $kQ$ 与三阶下三角矩阵代数的同构。例如 $ba$ 对应 $E_{32}{E}_{21}=E_{31}$，而 $ab=0$ 对应 $E_{21}{E}_{32}=0$。采用相反的箭头方向会得到上三角版本，不能在中途更换乘法约定。

令顶点空间为 $V_1=k^2,V_2=k^3,V_3=k^2$，箭头为 $A,B$。在总空间 $V_1\oplus V_2\oplus V_3$ 上，$a$ 只在 $V_1\to V_2$ 的块放入 $A$，$b$ 只在 $V_2\to V_3$ 的块放入 $B$，$ba$ 的对应块自然为 $BA$。六条路径已经决定全部代数作用。

一个环给出无限维代数 ​

一顶点一个环 $t$ 的路径为 $1,t,t^2,\dots$，故路径代数为 $k[t]$。给它一个有限维模，只需选一个矩阵 $T$，让 $t^m$ 作用为 $T^m$。路径代数无限维，不妨碍某个表示有限维。 若改取带关系商代数公理库带关系箭图代数Bound quiver algebra · Quiver with relations用路径理想表达交换与零关系，计算交换菱形的九维商，并说明可容许条件和无关系同调公式的边界。 $k[t]/(t^3)$，只剩三维，并额外要求表示矩阵满足 $T^3=0$；路径自由串接与满足关系后的作用是两种不同的数据。

一顶点两个环 $x,y$ 给出自由非交换代数 $k⟨x,y⟩$。路径 $xy$ 与 $yx$ 是不同基元，除非另加关系。它不是通常的交换多项式环 $k[x,y]$。

两种语言的双向翻译 ​

从箭图表示 $V$ 出发，取总空间公理库直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。 $M=\underset{i}{⨁}{V}_i$。让 $e_i$ 为投影，箭头按给定线性映射作用，长路径按箭头复合作用。路径乘法与算子复合一致，因此得到 $kQ$-模。

反过来，对 $kQ$-模 $M$，正交幂等元与 $\sum _i{e}_i=1$ 给出向量空间直和

对箭 $a:i\to j$，等式 $a=e_{j}a{e}_i$ 保证左乘 $a$ 将 $e_{i}M$ 送到 $e_{j}M$，这就是对应的箭头映射。模同态与各 $e_i$、各箭头交换，恰好等价于逐顶点同态满足交换方块。

这两个构造在自然同构意义下互逆。注意 $e_{i}M$ 一般只是顶点子空间，不必是整个 $kQ$ 的子模，因为离开顶点 $i$ 的箭头可能把它送往别的顶点。

路径长度与根的幂 ​

令 $J_Q$ 为全部正长度路径张成的理想。其第 $m$ 次幂由长度至少 $m$ 的路径张成。若 $Q$ 无有向环且有 $n$ 个顶点，则路径长度至多 $n-1$，所以 $J_Q^n=0$，而

半单。于是 $J_Q$ 就是Jacobson 根公理库有限维代数的 Jacobson 根Jacobson radical of a finite-dimensional algebra将所有单模看不见的操作组成Jacobson根，用组成列证明幂零性，并在上三角代数中逐次计算其幂。。三顶点链中 $J_Q^2=k(ba)$、$J_Q^3=0$，代数的根层正好看见路径长度。

有环时这句话不再自动成立。一环代数 $k[t]$ 的箭理想 $(t)$ 非零，但其 Jacobson 根为0；不能仅凭路径叫作“箭头”就把它放进根。

自检：对没有箭头的两个顶点，全部路径只有 $e_1,e_2$，所以 $kQ\cong k\times k$。一个模恰好分成两份互不连接的空间。再加入一条箭后，新增一个可搬运分量的操作；这解释了为什么上三角代数不等于两个域的乘积。