弱拓扑与弱收敛

范数收敛要求整个误差一起变小；弱收敛要求任何预先固定的连续线性测量都看不到残余误差。弱邻域只同时规定有限次测量的误差，因此可以容纳在其他方向上仍然很大的向量。把拓扑放弱的收益是更容易保留极限，代价是不能从这些读数恢复范数收敛。

图中每一行是一条序列向量 $e_n$，不是有限维平面里趋向原点的箭头。蓝色的单位脉冲移向更后的坐标；对固定 $y\in {\ell }^2$，测量结果为 $⟨y,e_n⟩=\overline{y_n}\to 0$。使每次读数保持为一的选择 $y=e_n$ 随 $n$ 改变，不是弱收敛定义中的固定探针。

标准基为什么只弱收敛 ​

在 ${\ell }^2$ 中，平方可和意味着 $y_n\to 0$，所以 $e_n\rightharpoonup 0$。然而

这个有界序列甚至没有范数 Cauchy 子列，清楚地说明无限维闭单位球不必范数紧。弱下半连续在这里给出 $0\le 1$，并不承诺范数在极限中保持相等。

仅检验每个坐标而没有统一范数界，也不够推出弱收敛。例如 $x_n=n{e}_n$ 的每个固定坐标最终为零，但取 $y_n=n^{-3/4}$，就有 $y\in {\ell }^2$ 而 $⟨y,x_n⟩=n^{1/4}$ 发散。相反，若序列范数有界，稠密测试集上的收敛可以用统一误差估计推广到全部测试向量。

有界序列怎样抽出弱子列 ​

设 $\Vert x_n\Vert \le M$，先假定 $H$ 可分，取稠密序列 $d_1,d_2,\dots$。对每个 $j$，标量序列 $⟨x_n,d_j⟩$ 有界。依次抽取子列，再取对角子列 $x_{n_k}$，使这些读数对所有 $j$ 都收敛。

对于任意 $y\in H$，选 $d_j$ 逼近它。估计

说明 $⟨x_{n_k},y⟩$ 是 Cauchy 序列。于是 $L(y)=\underset{k}{lim}⟨x_{n_k},y⟩$ 对每个 $y$ 都有定义，且 $L$ 线性、$|L(y)|\le M\Vert y\Vert$。Riesz 表示给出 $x\in H$，使 $L(y)=⟨x,y⟩$；取共轭就得到 $x_{n_k}\rightharpoonup x$。

一般的 $H$ 不必可分，但这个序列总落在可分闭子空间 $H_0=\overline{\mathrm{span}\{x_n:n\ge 1\}}$ 中。在 $H_0$ 内完成上述抽取后，对任意 $y\in H$ 作正交分解 $y=y_0+y_{\perp }$。所有 $x_n$ 及所得 $x$ 都与 $y_{\perp }$ 正交，故 $H_0$ 内的弱收敛就是全空间中的弱收敛。这里可分的是序列所占据的子空间，不是定理对整个空间的额外要求。

弱、弱星和紧性各指什么 ​

连续对偶 $X^{\prime }$ 上还有弱星拓扑 $\sigma (X^{\prime },X)$，只用原空间的求值来测试：$f_{\alpha }\to f$ 弱星，当且仅当 $f_{\alpha }(x)\to f(x)$ 对每个 $x\in X$ 成立。相比之下，$X^{\prime }$ 自身的弱拓扑是 $\sigma (X^{\prime },X^{″})$，使用连续双对偶中的全部测试；若 $X$ 不自反，两种测试集合可能不同。

Banach–Alaoglu 定理说 $X^{\prime }$ 的闭单位球弱星紧公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。。一般拓扑中的紧性用网和子网表达，不能仅凭此句就断言每个有界序列都有弱星收敛子列。当前对偶 $X$ 可分时，该球的弱星拓扑可度量化，才可结合紧性得到序列结论。

反身 Banach 空间的闭单位球弱紧；Eberlein–Šmulian 定理进一步把 Banach 空间中的弱紧性与弱序列紧性联系起来，因此反身空间的有界序列有弱收敛子列。上面的 Hilbert 证明独立完成了所需特例。反身空间里，弱闭且有界的集合弱紧；把“弱闭”直接换成“范数闭”并不成立，例如 ${\ell }^2$ 的单位球面范数闭，却因 $e_n\rightharpoonup 0$ 而不是弱闭的。

若可行集合是范数闭凸集，Hahn–Banach 分离定理可用一个连续线性泛函分开集合与外部点，因此它也是弱闭集。这个结论解释了凸约束为何容易在弱极限中保存；任意范数闭的非凸约束没有同样保证。

变分法的直接法公理库变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，并完整解出带四次势能的一维非线性边值问题。把这几件事接在一起：能量估计限制极小化序列的范数，有界性给出弱子列，弱闭性保存约束，弱下半连续性保证极限能量不高于下确界。弱收敛提供的是存在性证明所需的极限通道；能量和约束是否能沿这条通道通过，还必须分别验证。