矩阵

可以把 $A_{ij}$ 理解为“从 $i$ 经由中间项 $j$ 的贡献”，把 $B_{jk}$ 理解为“再从 $j$ 到 $k$ 的贡献”。乘法先组合每条经过 $j$ 的两段路线，再把所有中间项的贡献汇总。普通数值矩阵、图中的路径计数和最短路计算，共享这个索引结构，区别在于怎样组合、怎样汇总。

这也解释了形状检查。标准下标的 $m\times n$ 与 $n\times p$ 能相乘，因为共同指标都是 $\{1,\dots ,n\}$。若行列带有标签，则按标签对齐中间项：例如第一张表按城市排列列，第二张表就按相同城市排列行。

给行、列各固定一个编号，并为系数提供可存储的表示后，$m\times n$ 矩阵可用长度 $mn$ 的数组公理库数组Array以连续整数下标支持随机访问的有限序列结构。保存：从零编号时，行优先位置 $(i,j)$ 对应下标 $in+j$。数组中保存的也可以是系数对象的引用，不能因此假定任意精度系数运算都为常数成本。

对已给出有效项位置的实矩阵，CSR 等稀疏表示公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。保存形状、坐标和值，未存的位置解释为零；丢弃小而非零的条目则是另一个需要误差控制的近似步骤。表示方式不改变矩阵各位置的值，却会改变访存和运算成本。

一个乘积里发生了什么 ​

取

$AB$ 为 $2\times 2$ 矩阵。例如第二行第一列是

完整结果为

反向乘积也有定义，却连形状都不同。即使都是方阵，次序也通常不可交换：对

有 $PQ=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，而 $QP=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。这里标量完全交换，不交换来自不同的中间索引组合。对域上的同阶方阵，交换子 $[A,B]=AB-BA$ 把这种次序差异组织成新的运算，满足 Jacobi 恒等式，并给出Lie 代数公理库Lie 代数李代数 · Lie algebra配备双线性交替括号并满足 Jacobi 恒等式的向量空间，以矩阵交换子和 sl₂ 的伴随作用为具体模型。的基本模型。

同一乘法形状，不同标量含义 ​

对有限有向图，令邻接矩阵 $A_{ij}=1$ 表示弧 $i\to j$，否则为 $0$。在自然数半环中，$(A^2{)}_{ik}$ 是从 $i$ 到 $k$ 的两步有向游走数；在布尔半环中，把加法改为“或”、乘法改为“且”，$(A^2{)}_{ik}$ 则只表示是否存在这样的游走。

例如仅有 $1\to 2,1\to 3,2\to 4,3\to 4$ 四条弧时，普通乘法得到 $(A^2{)}_{14}=2$，布尔乘法得到真。这里允许游走重复顶点；矩阵幂一般不直接统计要求顶点互异的简单路径。

在最小加半环 $S=\mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ 中，定义 $a\oplus b=min(a,b)$、$a\otimes b=a+b$，其中 $+\mathrm{\infty }$ 是加法零元，通常实数 $0$ 是乘法单位。以边权为条目、无边记为 $+\mathrm{\infty }$，矩阵乘法得到

$A$ 的第 $r$ 次幂描述恰好 $r$ 条边的最短游走。若要求至多 $r$ 条边，可对 $I\oplus A$ 取幂：对角上的零成本等待步骤允许把较短路线补齐。

转置、逆与线性映射 ​

当标量乘法交换时，$(AB{)}^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}$。交换性用在每项的 $A_{ij}{B}_{jk}=B_{jk}{A}_{ij}$ 上。复矩阵还常用共轭转置 $A^{\ast }={\bar{A}}^{\mathsf{T}}$，它在交换行列后再对每个条目取共轭。

域上的矩阵可以表示向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。之间的线性映射。若使用列坐标，$x\mapsto Bx$ 后接 $y\mapsto Ay$ 的复合矩阵是 $AB$，即右边先作用。换基会改变表示同一映射的矩阵，具体变换关系见换基公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。。

长方矩阵可能有单侧逆。例如 $A=(10)$、$B=(10{)}^{\mathsf{T}}$ 满足 $AB=(1)$，但 $BA=\mathrm{diag}(1,0)$。这里 $B$ 把一维坐标嵌入平面的横轴，$A$ 再取出横坐标；反过来先取横坐标再嵌入，会丢掉原来的纵坐标。

乘法的结合律来自有限求和与分配律：$(AB)C$ 和 $A(BC)$ 的同一条目都展开为 $\sum _{j,k}{A}_{ij}{B}_{jk}{C}_{k\ell }$。因此可以自由加括号而不交换因子；矩阵链乘法优化的正是括号位置及计算代价。

线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。的复合、图上的多步传播与动态规划可共享矩阵乘法的接口。统计设计矩阵把样本放在行、特征放在列，乘以参数向量就同时计算全部样本的预测值；图 Laplacian公理库图 LaplacianGraph Laplacian · Laplacian matrix用度矩阵减邻接矩阵得到的算子，以二次型衡量相邻顶点取值的不一致。则把顶点间的差异组织为线性运算。

数组公理库数组Array以连续整数下标支持随机访问的有限序列结构。与稀疏矩阵表示公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。负责实现，矩阵范数公理库矩阵范数与诱导算子范数Matrix norm · Induced matrix norm · Operator norm of a matrix用诱导范数和常用可计算矩阵范数度量线性映射的放大能力，并区分算子范数、Frobenius 范数与谱半径。用于误差和放大量化。数学上相等的两种乘法安排，在浮点运算中未必逐位相同；这属于近似算术层，而不是对精确半环结合律的反例。