Hessian–向量积 | Codeboy's Blog

形式陈述

设标量函数 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 由一个有限、局部稳定的计算图给出，图中各原语在当前原值的邻域内为 $C^2$ 。给定求值点 $x$ 和固定方向 $v$ ，本页算法返回

H_f(x)v=D(\nabla f)(x)[v].

这里的Hessian是梯度映射的 Jacobian。可以先用反向自动微分计算梯度，再对整个反向程序作前向方向微分，称为 forward-over-reverse。需要的是矩阵对一个方向的作用，不必先列出 $n^2$ 个二阶偏导。

状态与局部规则

输入节点 $z_j=x_j$ ，其余节点按拓扑顺序求值：

z_i=\phi_i(z_{p(i,1)},\ldots,z_{p(i,k_i)}), \qquad p(i,r)<i,\qquad n<i\le n+T.

令最后一个节点为标量输出 $f=z_{n+T}$ 。 $p(i,r)$ 是第 $r$ 个操作数槽；同一节点可以占多个槽，平方 $u\cdot u$ 就有两个槽。对形式参数求偏导后代入原值，记

c_{i,r}=\partial_r\phi_i,\qquad \dot c_{i,r} =\sum_{s=1}^{k_i}\partial_{rs}^2\phi_i\, \dot z_{p(i,s)}.

每个节点保存原值 $z_i$ 、切向量 $\dot z_i$ 、伴随量 $\bar z_i$ 和伴随量的方向导数 $\dot{\bar z}_i$ 。后两者含义不同： $\bar z_i$ 是目标对节点的敏感度， $\dot{\bar z}_i$ 是该敏感度随输入方向 $v$ 的变化率。

正向原值与切向量。 置 $\dot z_j=v_j$ ，依次计算 $z_i$ 及 $\dot z_i=\sum_r c_{i,r}\dot z_{p(i,r)}.$ 保存反向所需原值、切向量和图结构。
输出种子。 全部 $\bar z_i,\dot{\bar z}_i$ 初始化为零，再置 $\bar f=1$ 。输出种子与输入点无关，所以 $\dot{\bar f}=0$ 。
逆序二阶传播。 对 $i=n+T,\ldots,n+1$ ，逐槽执行 $\bar z_{p(i,r)}\mathrel{+}=\bar z_i c_{i,r},$ $\dot{\bar z}_{p(i,r)} \mathrel{+}=\dot{\bar z}_i c_{i,r} +\bar z_i\dot c_{i,r}.$ 一个节点的所有消费者贡献先汇总，再向父节点传播。重复槽也分别累加。
返回。 返回输入处的 $(\bar x,\dot{\bar x})$ ，分别是 $\nabla f(x)$ 与 $H_f(x)v$ 。遍历有限图后终止；若原语离开定义域、二阶规则不存在或运算出现非有限值，应返回失败状态，而非把一个任意数值当作 Hessian 作用。

正确性：微分反向程序的每一步

考虑输入路径 $x(t)=x+tv$ 。局部稳定性使小 $t$ 下使用同一张图， $C^2$ 假设保证其原值和一阶局部导数可沿路径求导。正向归纳给出

\dot z_i=\left.\frac{d}{dt}z_i(x(t))\right|_{t=0}, \qquad \dot c_{i,r} =\left.\frac{d}{dt}c_{i,r}(x(t))\right|_{t=0}.

在每个 $x(t)$ 上，普通反向传播都返回 $\bar x(t)=\nabla f(x(t))$ 。它初始化的常数种子导数为零。若在某条逆序指令之前，所有保存的 $\dot{\bar z}$ 都是对应 $\bar z(t)$ 的导数，那么对指令

\bar z_p\leftarrow\bar z_p+\bar z_i c_{i,r}

求导，由乘积法则恰得

\dot{\bar z}_p\leftarrow \dot{\bar z}_p+\dot{\bar z}_i c_{i,r} +\bar z_i\dot c_{i,r}.

因此逐条指令归纳保持这一含义，最终

\dot{\bar x} =\left.\frac{d}{dt}\nabla f(x+tv)\right|_{t=0} =H_f(x)v.

证明微分的是整个累加程序，包括旧值 $\bar z_p$ ，所以共享消费者和重复操作数槽不会漏项。只微分局部乘子 $c_{i,r}$ 、漏掉 $\dot{\bar z}_i c_{i,r}$ ，通常会得到错误结果。

直觉

一阶反向传播把“目标对各节点有多敏感”送回来；二阶传播同时追踪“这些敏感度沿指定方向如何改变”。每条边有两个变化来源：下游送来的伴随量在变，这给出 $\dot{\bar z}_i c_{i,r}$ ；边上的局部导数在变，这给出 $\bar z_i\dot c_{i,r}$ 。两项共同构成乘积法则。

方向 $v$ 在输入处只选一次。中间节点携带的 $\dot z_i$ 已经把该方向传到局部原语，反向时无需把 $v$ 再当成新的可变参数求导。输入维数可以很大，但一个方向始终只增加常数份节点状态。

例子与边界

共享节点和平方的两个槽

沿用自动微分页的程序

u=xy,\qquad a=u\cdot u,\qquad b=u+x,\qquad f=a+b,

取 $(x,y)=(2,3)$ 、 $v=(1,-1)$ 。完成两次遍历后的账本为：

节点	$z$	$\dot z$	$\bar z$	$\dot{\bar z}$
$x$	$2$	$1$	$40$	$-7$
$y$	$3$	$-1$	$26$	$17$
$u$	$6$	$1$	$13$	$2$
$a$	$36$	$12$	$1$	$0$
$b$	$8$	$2$	$1$	$0$
$f$	$44$	$14$	$1$	$0$

反向处理 $f$ 与加法节点 $b$ 时，局部偏导均为常数，因此不会产生二阶局部项。在 $a=u\cdot u$ 中，两个槽的局部导数都等于另一个槽的原值 $u=6$ ，方向导数都为 $\dot u=1$ 。每个槽向 $\bar u$ 加 $6$ 、向 $\dot{\bar u}$ 加 $1$ ，加上 $b$ 的一阶贡献，得到 $\bar u=13,\dot{\bar u}=2$ 。

最后在 $u=xy$ 中，

\dot{\bar x}=2\cdot3+13\cdot(-1)=-7,\qquad \dot{\bar y}=2\cdot2+13\cdot1=17.

其中来自 $b$ 的 $\bar x=1$ 是常数，方向导数为零。独立展开 $f=x^2y^2+xy+x$ ，可得

H_f(2,3)= \begin{pmatrix}18&25\\25&8\end{pmatrix}, \qquad H_f(2,3)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7\\17\end{pmatrix}.

这同时核对了传播结果和平方的重复槽。 $v^{\mathsf T}H_fv=-24$ 还说明此点存在负曲率；算法返回 Hessian 的作用，不附带正定保证。

光滑性、执行迹和精度

若使用 ReLU 等分段线性原语，避开切换面的固定区域内可以应用相应二阶规则；在不可微点，框架选定的一阶约定再求导并不自动构成经典 Hessian。含分支或循环的程序同样需要邻域内稳定的有限执行迹，仅在当前点运行成功不够。

“精确 Hessian–向量积”通常指精确实数算术下无差分截断误差的恒等式。浮点执行仍有舍入、溢出和相消；二阶局部导数甚至可能比一阶量更大。也不能把近似或错误的自定义一阶反向规则当作真实梯度再求导，便宣称得到原函数的 Hessian。

推论与应用

成本与完整矩阵的区别

若每个原语的元数有统一常数上界，且原值、全部局部一阶及二阶导数都可用有界工作算出，则每个槽只处理常数次。一次方向传播连同原值求值、初始化和输出的时间为 $O(T+n)$ ，朴素保存全部四类节点状态的存储也为 $O(T+n)$ 。局部小原语的二阶表可显式求出；这里避免的是整个输入空间的 $n\times n$ Hessian。

若把大矩阵乘法或线性求解封装成一个原语，应计入它及其导数规则的实际成本，不能将一次函数调用计作常数。逐个输入坐标取 $v=e_j$ 可以获得 Hessian 各列；连续执行 $n$ 次的时间为 $O(nT+n^2)$ ，写出完整矩阵本身就需 $n^2$ 个数。只需少数方向时，形成所有列通常是多余工作。

二阶优化的算子接口

共轭梯度法每步只调用矩阵乘向量。若当前实 Hessian 正定，就可用本页算法提供 Newton 系统 $H_fp=-\nabla f$ 的矩阵作用，而不形成稠密 Hessian。本例的 Hessian 不定，不能直接套用普通 CG 的正定收敛定理；需要另行规定曲率处理或选择适合不定系统的求解方法。

大型原语也可以有自己的导数接口。线性求解的离散伴随把一次可逆求解的反向传播化为转置方程，其数学对象是精确方程解。若进一步组合求导，仍须核对该接口的光滑性和数值求解精度；把未收敛迭代直接声明为精确求解，会改变本页证明所依赖的局部规则。

参考资料

Barak A. Pearlmutter, “Fast Exact Multiplication by the Hessian”, Neural Computation 6(1), 1994, pp. 147–160；作者预印本，1993-06-09，§3 的方向微分算子与 §4.1 的二阶传播。预印本页码与期刊版不同。
Alan Edelman, Steven G. Johnson et al., Matrix Calculus for Machine Learning and Beyond, Lecture 8, MIT 18.S096, IAP 2023，§8.4.1，印刷页62–63的 forward-over-reverse；§8.3.1 的反向累加。

形式陈述 ​

状态与局部规则 ​

正确性：微分反向程序的每一步 ​

共享节点和平方的两个槽 ​

光滑性、执行迹和精度 ​

成本与完整矩阵的区别 ​

二阶优化的算子接口 ​

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