共同二次Lyapunov证书

形式陈述

固定有限个实矩阵 $A_1,\ldots,A_s\in\mathbb R^{n\times n}$ 。考虑参数可随时间改变的系统

\dot x=A(t)x,\qquad A(t)=\sum_{i=1}^s\theta_i(t)A_i, \quad\theta_i(t)\ge0,\quad\sum_i\theta_i(t)=1.

权重只需可测；不要求连续、可微或缓慢变化。有限顶点保证 $A(t)$ 有界，线性积分方程给出每个初值的唯一全局绝对连续解，微分式理解为几乎处处成立。这是线性方程组在可测有界系数下的版本。

若存在同一个对称正定矩阵 $P$ 与 $\alpha>0$ ，使所有顶点都满足

A_i^{\mathsf T}P+PA_i+2\alpha P\preceq0,\qquad i=1,\ldots,s, \tag{1}

则 $V(x)=x^{\mathsf T}Px$ 是共同二次证书，且对每条允许参数轨道有统一的指数衰减界

\|x(t)\|_2\le \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} e^{-\alpha t}\|x(0)\|_2.\tag{2}

共同常矩阵 $P$ 使快速变化也无需附加导数项。若改用依赖参数的 $P(\theta(t))$ ，就必须重新处理其变化，不能直接套用本结论。

直觉

每个顶点分别稳定，只说明把参数冻结在该点时会衰减。共同证书要求所有可能动力学都让同一份能量下降，因此切换时不用更换能量标尺。顶点检查又利用了凸组合：一个对每个顶点都非正的二次导数，对它们的任意混合仍非正。

扰动输入会给系统注入能量。若能把“储能变化加输出能量”限制在输入能量的固定倍数内，积分就得到整条运行的收支界，而不必事先知道参数怎样变化。

两个端点的同一储能不等式通过凸组合覆盖整个参数区间，时间积分给出初始储能与输入能量共同控制的输出界

例子与边界

顶点证书覆盖任意参数变化

式 (1) 的凸组合给出

A(t)^{\mathsf T}P+PA(t)+2\alpha P =\sum_i\theta_i(t)(A_i^{\mathsf T}P+PA_i+2\alpha P)\preceq0.

因此沿绝对连续轨迹，几乎处处有 $\dot V\le-2\alpha V$ 。函数 $e^{2\alpha t}V(x(t))$ 的导数几乎处处非正，故它不增，得到 $V(x(t))\le e^{-2\alpha t}V(x_0)$ 。再用

\lambda_{\min}(P)\|x\|^2\le V(x)\le\lambda_{\max}(P)\|x\|^2

就得到式 (2)。参数轨道在估计中消失，所以常数对所有允许的变化统一。

若给出的是 $P\succ0$ 与所有 $A_i^{\mathsf T}P+PA_i\prec0$ ，令

q=\min_i\lambda_{\min}[-(A_i^{\mathsf T}P+PA_i)]>0, \qquad \alpha=\frac{q}{2\lambda_{\max}(P)}.

则 $A_i^{\mathsf T}P+PA_i+2\alpha P\preceq-qI+qP/\lambda_{\max}(P)\preceq0$ ，显式恢复一个衰减率。

对于固定 $\alpha$ 和已知顶点，式 (1) 对未知矩阵 $P$ 的各元素是线性矩阵不等式（LMI），可作为凸可行性问题求解。但同时把 $\alpha,P$ 都当变量时会出现乘积 $\alpha P$ ，不能直接称为同一个仿射LMI；常见做法是固定候选衰减率后检查可行性。

各顶点稳定仍不够

取

A_1=\begin{pmatrix}-1&4\\0&-1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}-1&0\\4&-1\end{pmatrix}.

两者的特征值都是 $-1,-1$ ，各自冻结时指数稳定。但允许的常值凸组合

\tfrac12(A_1+A_2)=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}

有特征向量 $(1,1)^{\mathsf T}$ 、特征值 $1$ 。该方向按 $e^t$ 增长，整个参数族当然不稳定，也不可能有满足式 (1) 的共同 $P$ 。

此例只需一个允许的常值混合，就足以否定全族结论；无需把它说成已经计算了某条纯顶点切换轨迹。共同二次证书是全族稳定的充分条件；没有找到这样的 $P$ ，也不能对任意别的稳定族直接断言不稳定，因为可能需要非二次或其他形式的证书。

同一储能怎样控制扰动输出

进一步考虑

\dot x=A(t)x+B(t)w,\qquad z=C(t)x+D(t)w,

其中同一组权重同时组合各块：

(A,B,C,D)(t)=\sum_i\theta_i(t)(A_i,B_i,C_i,D_i).

输入 $w\in L^2_{\mathrm{loc}}$ ；有界系数使强迫项局部可积，仍有唯一绝对连续状态。参数只需可测，不要求被控制器在线测量。

给定 $P\succ0,\gamma>0$ ，检查所有顶点的大块不等式

H_i:=\begin{pmatrix} A_i^{\mathsf T}P+PA_i&PB_i&C_i^{\mathsf T}\\ B_i^{\mathsf T}P&-\gamma^2I&D_i^{\mathsf T}\\ C_i&D_i&-I \end{pmatrix}\preceq0.\tag{3}

它对系统矩阵仿射，所以 $H(t)=\sum_i\theta_i(t)H_i\preceq0$ 。为看清结论，令 $\xi=(x^{\mathsf T},w^{\mathsf T})^{\mathsf T}$ 、 $E=(C\ D)$ ，并把左上角的 $2\times2$ 块主子矩阵记为 $L$ 。对任意辅助向量 $y$ ，配平方得

\begin{pmatrix}\xi\\y\end{pmatrix}^{\mathsf T} \begin{pmatrix}L&E^{\mathsf T}\\E&-I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\xi\\y\end{pmatrix} =\xi^{\mathsf T}(L+E^{\mathsf T}E)\xi-\|y-E\xi\|^2.

取 $y=E\xi$ ，可知式 (3) 等价于下述较小矩阵半负定：

M(t)=\begin{pmatrix} A^{\mathsf T}P+PA+C^{\mathsf T}C&PB+C^{\mathsf T}D\\ B^{\mathsf T}P+D^{\mathsf T}C&D^{\mathsf T}D-\gamma^2I \end{pmatrix}\preceq0.\tag{4}

这就是所需的 Schur 补步骤，已由配平方给出，不依赖额外的消元规则。沿系统展开可得

\dot V+\|z\|^2-\gamma^2\|w\|^2 =\begin{pmatrix}x\\w\end{pmatrix}^{\mathsf T} M(t)\begin{pmatrix}x\\w\end{pmatrix}\le0.

对 $[0,T]$ 积分，得到完整收支式

V(x(T))+\int_0^T\|z(t)\|^2dt \le V(x_0)+\gamma^2\int_0^T\|w(t)\|^2dt.\tag{5}

若 $w\in L^2(0,\infty)$ ，丢掉非负终端储能并取积分的单调极限，就得到

\int_0^\infty\|z(t)\|^2dt \le x_0^{\mathsf T}Px_0+\gamma^2\int_0^\infty\|w(t)\|^2dt.\tag{6}

只有在 $x_0=0$ 时，才能据此说输入输出 $L^2$ 增益不超过 $\gamma$ ；非零初值带来的储能不能无故删除。

较小矩阵 (4) 含 $C^{\mathsf T}C$ 等平方项，通常不等于其顶点矩阵的凸组合。但这不破坏顶点检查的充分性：若 $E=\sum_i\theta_iE_i$ ，则

\sum_i\theta_iE_i^{\mathsf T}E_i-E^{\mathsf T}E =\sum_i\theta_i(E_i-E)^{\mathsf T}(E_i-E)\succeq0.

因此 $M(t)\preceq\sum_i\theta_iM_i$ 。采用大块式 (3)，则从一开始就能直接使用仿射等式。

两个数值端点与一个手算能量界

取

\dot x=-a(t)x+w,\qquad z=x,\qquad 1\le a(t)\le2, \qquad P=1,\quad\gamma=2.

无扰动时 $\dot V=-2a(t)x^2\le-2V$ ，故式 (2) 的参数是 $\alpha=1$ 、前置常数 $1$ ： $|x(t)|\le e^{-t}|x_0|$ 。

有扰动时，式 (4) 成为

M(a)=\begin{pmatrix}-2a+1&1\\1&-4\end{pmatrix}.

两个端点分别为

M(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-4\end{pmatrix},\qquad M(2)=\begin{pmatrix}-3&1\\1&-4\end{pmatrix}.

首个顺序主子式分别为 $-1,-3$ ，行列式分别为 $3,11$ ，所以两矩阵严格负定。也可以直接核验整个区间：

\dot V+x^2-4w^2 =-(2a-\tfrac54)x^2-4(w-\tfrac14x)^2\le0.

因此对所有允许的时变 $a$ 都有

\int_0^\infty x(t)^2dt\le x_0^2+4\int_0^\infty w(t)^2dt.

$\gamma=2$ 是便于手算的保守证书，没有声称它是最小增益。比如固定 $a=1,x_0=0$ ，输入 $w=1$ 持续一秒后变成零，则

x(t)=\begin{cases}1-e^{-t},&0\le t\le1,\\ (1-e^{-1})e^{-(t-1)},&t\ge1. \end{cases}

两段积分给出 $\int_0^\infty x^2dt=e^{-1}$ ，而输入能量为 $1$ ，确实满足证书的上界 $4$ 。若改取 $w=0,x_0=1,a=1$ ，输出能量为 $1/2$ ；这说明非零初值项不能省略。

推论与应用

状态反馈可以先把每个已知顶点闭环化为 $A_i-B_iK$ ，再用本页检验一个固定增益是否对整个族有共同证书。如果同时搜索 $K$ 与 $P$ ，直接公式出现 $PB_iK$ 等乘积，不能不经变量变换就称为本页的凸LMI问题。本页承担的是证书验证与充分性证明。

稳定与能量估计也要分清。非严格的式 (3) 本身未必给内部渐近稳定，例如 $A=B=C=D=0$ 也满足它，但状态恒定；若还满足式 (1)，即可同时取得衰减和能量保证。若各 $H_i\prec0$ ，则其左上主块已严格负定，也会给出共同稳定性。

模型预测控制的终端下降与这里的储能不等式都通过累加或积分控制未来成本，但它们的可行性任务不同。本页没有状态或输入约束，不能据一份扰动能量界就宣称约束在所有扰动下保持满足。

验收练习。 从两个端点矩阵重算 $3,11$ ，不用微分参数就证明统一衰减；再从有限时间式 (5) 推出无限能量式 (6)，标出正定储能、零初值和平方可积输入各自的用途。

参考资料

Stephen Boyd、Laurent El Ghaoui、Eric Feron、Venkataramanan Balakrishnan，Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory，SIAM，1994，§§4.1–4.2、5.1、5.1.3、6.3.2：凸包系统，式 (5.8) 的共同二次条件、式 (5.20) 的衰减率，以及式 (6.51)–(6.53) 的能量条件；印刷pp.51–53、61–62、66–67、91–92。该书输入输出推导在此处取 $D=0$ ；本文保留 $D$ 的大块条件由所列配平方直接验证。

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顶点证书覆盖任意参数变化 ​

各顶点稳定仍不够 ​

同一储能怎样控制扰动输出 ​

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