模型预测控制与终端证书

形式陈述

对精确、无扰动的离散系统 $x^+=Ax+Bu$ ，固定预测步数 $N\ge1$ 。给定闭凸多面体状态集 $X$ 、紧凸多面体输入集 $U$ ，以及闭凸多面体终端集 $X_f\subseteq X$ ；三者均含原点。令 $Q\succeq0,R\succ0,P_f\succeq0$ ，阶段成本和终端成本为

\ell(x,u)=x^{\mathsf T}Qx+u^{\mathsf T}Ru, \qquad V_f(x)=x^{\mathsf T}P_fx.

在当前状态 $x$ 求解

\begin{aligned} V_N(x)=\min_{u_0,\ldots,u_{N-1}}\quad& \sum_{j=0}^{N-1}\ell(x_j,u_j)+V_f(x_N),\\ \text{满足}\quad&x_0=x,\quad x_{j+1}=Ax_j+Bu_j,\\ &x_j\in X\ (0\le j\le N),\quad u_j\in U,\quad x_N\in X_f. \end{aligned}\tag{1}

有可行解的初态集合记作 $X_N$ 。对每个 $x\in X_N$ ，可行输入序列构成 $U^N$ 的非空闭子集，因而紧；目标连续，最优解存在。将状态消去后目标关于整条输入严格凸，故最优输入序列唯一。

模型预测控制每次只实施最优序列的第一项 $\kappa_N(x)=u_0^*(x)$ ，下一时刻测得新状态，再解相同长度的问题。这与一次性执行整条有限最优计划不同。无约束离散LQR给出相关二次价值结构；本页额外处理约束、反复重求解，以及保证未来仍能继续求解的终端证书。

直觉

一次优化给出“从现在起可以怎样走”的计划，滚动控制只兑现第一步。证明不能只看当前计划可行：还要为下一次优化提供一条已经知道可行的候选。

终端集是一块已知可持续控制的区域。把旧计划去掉第一步，再在末端接上终端反馈，就得到下一时刻的候选计划。若末端新增加的成本不超过终端价值减少量，整个候选的成本便至少下降刚刚支付的阶段成本。

旧计划去掉已执行的第一项，保留中段，再在终端集内追加终端反馈，形成下一轮的可行候选

图以 $N=3$ 示意。移位序列用于证明；下一轮实际求出的最优序列可以不同，但成本不会高于这个可行候选。

例子与边界

把预测问题消成一个QP

记整条输入为 $\mathbf u=(u_0^{\mathsf T},\ldots,u_{N-1}^{\mathsf T})^{\mathsf T}$ 。递推展开得到

x_j=A^jx+\sum_{i=0}^{j-1}A^{j-1-i}Bu_i.

于是堆叠预测状态满足 $\mathbf x=\mathcal A x+\mathcal B\mathbf u$ 。这里 $\mathbf x$ 只堆叠 $x_1,\ldots,x_N$ ， $\mathcal B$ 的块行以 $j=1,\ldots,N$ 标记，块列以 $i=0,\ldots,N-1$ 标记。其第 $(j,i)$ 块在 $i<j$ 时为 $A^{j-1-i}B$ ，否则为零。

令 $\overline Q=\operatorname{diag}(Q,\ldots,Q,P_f)$ ，其中有 $N-1$ 个 $Q$ 。目标写成

f_x(\mathbf u)=\tfrac12\mathbf u^{\mathsf T}H\mathbf u +g(x)^{\mathsf T}\mathbf u+c(x), \quad H=2(\mathcal B^{\mathsf T}\overline Q\mathcal B+I_N\otimes R)\succ0.

$g(x)=2\mathcal B^{\mathsf T}\overline Q\mathcal A x$ ，而 $c(x)$ 包含当前状态成本 $x^{\mathsf T}Qx$ 和其余与输入无关的项。所有多面体约束同样变成 $D\mathbf u\le d+Ex$ ，所以这是严格凸的二次规划。

一份完整的KKT证书是可行的 $\mathbf u^*$ 与 $\lambda\ge0$ ，满足

H\mathbf u^*+g(x)+D^{\mathsf T}\lambda=0, \qquad \lambda_i(D\mathbf u^*-d-Ex)_i=0. \tag{2}

对任意其他可行 $\mathbf u$ ，令 $\Delta=\mathbf u-\mathbf u^*$ ，则

f_x(\mathbf u)-f_x(\mathbf u^*) =\tfrac12\Delta^{\mathsf T}H\Delta-\lambda^{\mathsf T}D\Delta \ge\tfrac12\Delta^{\mathsf T}H\Delta\ge0.

第一个不等号来自可行性与互补松弛。若输入不同，最后一项严格为正；因此已给出的证书直接证明全局唯一最优，不需要另借约束资格来证明充分性。

值14的受限两步计划

取积分器 $x_{j+1}=x_j+u_j$ ， $N=2,x_0=3,Q=R=1,P_f=0$ ，输入满足 $|u_j|\le1$ ，无状态或终端约束。消元得到

J=9+u_0^2+(3+u_0)^2+u_1^2 =18+6u_0+2u_0^2+u_1^2.

在 $(u_0,u_1)=(-1,0)$ ，梯度为 $(2,0)$ 。约束 $-u_0-1\le0$ 的乘子取 $2$ ，其余三个输入约束的乘子取零，驻点与互补松弛全部成立。Hessian 为 $\operatorname{diag}(4,2)\succ0$ ，故唯一最优计划是

(u_0^*,u_1^*)=(-1,0),\qquad (x_0,x_1,x_2)=(3,2,2),\qquad J^*=14.

相较无约束最优值 $27/2$ ，多出的 $1/2$ 是此处输入饱和的代价。

实际实施 $u_0=-1$ 后，状态到 $2$ 。此时重求解得到首项 $-1$ ，不会直接照搬旧计划的第二项 $0$ 。一般状态下的反馈是

\kappa_2(x)=\operatorname{clip}(-x/2,-1,1).

因此实际状态为 $3,2,1,1/2,\ldots$ 。这个特定控制器仍收敛，却不能套用下文的终端下降条件： $V_f=0$ 不可能在非零终端状态抵消正阶段成本。数值上 $V_2(3)=14,V_2(2)=6$ ，而 $14-\ell(3,-1)=4<6$ ，所需的一步价值下降式确实不成立。条件失效不等于闭环必然失稳。

终端条件给出递归可行

现在给式 (1) 配置一个终端控制 $\kappa_f:X_f\to U$ ，要求对所有 $z\in X_f$ 有

Az+B\kappa_f(z)\in X_f, \qquad V_f(Az+B\kappa_f(z))-V_f(z) \le-\ell(z,\kappa_f(z)).\tag{3}

终端不变性和输入可行性是明确的假设；终端成本本身再大，也不自动保证它们。

设当前最优状态为 $x_0^*,\ldots,x_N^*$ ，实施第一项后，精确无扰动模型保证真实下一状态就是 $x_1^*$ 。下一轮使用候选

\widetilde{\mathbf u}= (u_1^*,\ldots,u_{N-1}^*,\kappa_f(x_N^*)).

它的前 $N-1$ 段沿用旧可行轨迹；新增加的最后一步由式 (3) 留在 $X_f\subseteq X$ ，输入也仍在 $U$ 。因此下一问题可行。对时刻反复应用这一论证，得到从任何 $x_0\in X_N$ 出发的递归可行性。 $N=1$ 时保留的中段为空，候选只有终端控制，证明仍适用。

候选成本如何逐项抵消

记 $x_{N+1}^*=Ax_N^*+B\kappa_f(x_N^*)$ 。新候选相对旧最优值只删除第一项，并更换末端成本：

\begin{aligned} J_N(x_1^*,\widetilde{\mathbf u})-V_N(x_0^*) ={}&-\ell(x_0^*,u_0^*) +\ell(x_N^*,\kappa_f(x_N^*))\\ &+V_f(x_{N+1}^*)-V_f(x_N^*) \le-\ell(x_0^*,u_0^*). \end{aligned}

下一轮最优值不超过这个可行候选，所以

V_N(Ax+B\kappa_N(x))-V_N(x) \le-\ell(x,\kappa_N(x)).\tag{4}

这是关于重求解后同一长度价值函数的结论，不是只比较一份固定计划的剩余成本。

若进一步 $Q\succeq qI$ 、 $q>0$ ，沿滚动轨迹累加式 (4) 得

q\sum_{k=0}^{\infty}\|x_k\|^2\le V_N(x_0),

故所有可行初态的状态都趋于零。要同时得到原点的 Lyapunov 稳定性，还需控制初始价值。例如假设 $X_f$ 包含原点邻域。对 $x\in X_f$ 连续使用终端反馈 $N$ 步，式 (3) 抵消给出 $V_N(x)\le V_f(x)\le\lambda_{\max}(P_f)\|x\|^2$ ；另一方面 $V_N(x)\ge q\|x\|^2$ 。选足够小的初值使其在 $X_f$ 中，并使初始价值小于 $q\varepsilon^2$ ，价值不增就保证每一步 $\|x_k\|<\varepsilon$ 。这补上稳定性，与前述吸引性共同给出渐近稳定；不把价值下降单独当成所有稳定性条件。

用DARE装配一套合格终端证书

仍取积分器、 $Q=R=1,U=[-1,1],X=\mathbb R$ ，但改用

\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad V_f(x)=\varphi x^2,\quad \kappa_f(x)=-\frac{x}{\varphi},\quad X_f=[-\varphi,\varphi].

终端输入满足 $|\kappa_f(x)|\le1$ ，下一状态为 $x/\varphi^2$ ，仍在 $X_f$ 。离散LQR的 DARE 恒等式给出

V_f(x/\varphi^2)-V_f(x) =-x^2-(x/\varphi)^2,

所以式 (3) 以等号成立，且 $X_f$ 包含原点邻域。所有上述可行性、下降与收敛结论均适用。

在 $x_0=3,N=2$ 时，候选 $(-1,-1)$ 到达终端状态 $1$ ，成本为

9+1+4+1+\varphi=15+\varphi.

消元后的两个偏导在该点分别为 $2+2\varphi$ 与 $2\varphi-2$ ，均为正；取两个下界约束的乘子为这两个数，其他乘子零，就是唯一最优的 KKT 证书。终端约束在 $x_2=1$ 严格满足，因此不贡献乘子。

从下一状态 $2$ 出发，移位候选是 $(-1,-1/\varphi)$ ，成本恰为

(15+\varphi)-\ell(3,-1)=5+\varphi.

下一轮最优值不会更大。这个数与前例的 $6$ 不矛盾：终端成本和终端约束已改变，两者是不同的优化问题。

推论与应用

MPC 把当前最优性的 QP 证书与未来可继续执行的终端证书分开。KKT 核验解决本次输入序列是否最优；不变终端集与成本下降解决重求解能否延续，以及累计状态偏差能否受控。直接截断 LQR 输入并不自动满足状态约束，也不能替代这两项证明。

上述结论限定于精确模型、无扰动、全状态准确获得、每步实施所求最优首项。出现模型误差、测量误差或求解提前停止时，需要另行检查候选可行性及成本比较，原证明中的轨迹重合等式不再自动成立。连续参数变化下的统一能量估计可进一步参考共同二次证书，但它本身不是本页约束的鲁棒可行性证明。

验收练习。 重算值 $14$ 的四个乘子和第二次首项；再把终端成本换成 $\varphi x^2$ ，核验值 $15+\varphi$ 、终端集不变及候选成本 $5+\varphi$ 。能在这两套问题中分别辨认当前最优性与终端下降，才完成本单元。

参考资料

James B. Rawlings、David Q. Mayne、Moritz M. Diehl，Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design，2nd ed., 5th printing，2024，§2.2、§2.4.2：最优解存在，Assumption 2.14 的终端条件，式 (2.17)–(2.18) 的移位比较，以及 Theorem 2.19 的稳定性条件。本文采用有限维线性、凸多面体、正定状态成本的明确片段。
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe，Convex Optimization，Cambridge University Press，2004，§5.5.3：凸问题的KKT最优性条件；本页两组数值证书可由所列目标与乘子直接核验。

形式陈述 ​

把预测问题消成一个QP ​

值14的受限两步计划 ​

终端条件给出递归可行 ​

候选成本如何逐项抵消 ​

用DARE装配一套合格终端证书 ​

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