基于观测器的输出反馈与分离原理

观测器先用相同的动力学和已知输入预测状态，再用输出差修正预测。把真实系统与观测器相减时，共同的 $Bu$ 消失，因此误差只由 $A-LC$ 演化。控制器虽然使用估计值，估计误差仍像一个逐渐衰减的外部作用进入状态方程。

块三角中的右上块 $BK$ 一般不为零：误差会影响真实状态。左下块为零，表示真实状态不反过来驱动已经相减后的误差方程。正是这个单向结构使特征多项式分成两份；它并未让实际轨道分成两个互不影响的过程。

图中箭头表示误差经过 $BK$ 进入真实状态方程。下方采用本页的位置测量算例：初始估计为零时，误差虽然衰减，仍使总代价从全状态已知的二增到 $9/2$。

位置传感器下的四个闭环极点 ​

沿用双积分器

执行器施加加速度，传感器只测位置。$(A,B)$ 可控，且堆叠 $C,CA$ 得 $I_2$，所以位置的时间轨迹足以辨别速度。

选 LQR 页公理库连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · LQR · 线性二次调节器从零终端代价的有限时域 Riccati 解构造稳定 CARE 极限，在半正定状态代价下证明最优性与唯一性，并复算双积分器及双曲正切轨道。中 $Q=\mathrm{diag}(1,2)$、$R=1$ 的最优增益 $K=(12)$，其闭环为

令 $L=({\ell }_1,{\ell }_2{)}^{\mathsf{T}}$，则

把误差极点设为 $-2,-3$，匹配 $s^2+5s+6$，得到 $L=(5,6{)}^{\mathsf{T}}$。实际可执行的控制器为

在 $(x_1,x_2,e_1,e_2)$ 次序下，(2) 为

其特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。为

四个极点因此确为 $-1,-1,-2,-3$。$-1$ 允许出现 Jordan 块，但相应多项式乘指数项仍然衰减。

估计暂态带来的额外代价 ​

取真实初态 $x(0)=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$，初始估计 $\hat{x}(0)=0$，故 $e(0)=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$。误差方程可显式解为

它满足初值，且直接求导可验证 $e_1^{\prime }=-5e_1+e_2$、$e_2^{\prime }=-6e_1$。于是

LQR 的价值矩阵为 $P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。沿实际控制 $u=-K\hat{x}$，有 $u+Kx=Ke$。整个闭环稳定，所以配平方恒等式中的终端项趋零，得到

若一开始就令 $\hat{x}(0)=x(0)$，误差恒零，才恢复全状态 LQR 的代价二。分离保证稳定，但初态估计误差的代价可以明确非零；这里没有在未知初态模型下声称该观测器增益具有最优性。

只测速度时无法补出恒定位置差 ​

把传感器改为 $C=(01)$。对任意 $L=({\ell }_1,{\ell }_2{)}^{\mathsf{T}}$，

都保留零特征值。位置方向 $e_1$ 不可观而且不衰减，因此系统不可检测。若真实初态为 $e_1$、估计初态为零，则输出恒零、控制恒零，真实位置一直保持一，而观测器一直保持零。这不是把 $L$ 选得不够大，而是整个输出轨迹不包含该位置差。

对正常的位置传感器，单纯静态输出反馈 $u=-ky=-k{x}_1$ 也不够：闭环多项式为 $s^2+k$，任意实数 $k$ 都不能使两根实部严格为负。动态观测器利用整段输出的演化获得速度信息，才把稳定状态反馈变成可实现的输出控制。

误差方程和坐标变换 ​

先保留一般已知输入。由真实状态和观测器方程相减，

当 $u=-K\hat{x}=-K(x-e)$ 时，真实状态满足 $x^{\prime }=(A-BK)x+BKe$，得到 (2)。这个推导同时固定了误差的符号，不能把 $e=x-\hat{x}$ 与相反约定混用。

也可直接核验相似变换。在 $(x,\hat{x})$ 坐标中，矩阵是

令

则 $T(x,\hat{x}{)}^{\mathsf{T}}=(x,e{)}^{\mathsf{T}}$，直接块乘法得到 $TM{T}^{-1}=\mathcal{A}$，其中 $\mathcal{A}$ 是 (2) 的块矩阵。因此这是真实闭环的同一组特征值，没有通过舍掉观测器状态来降低系统阶数。

为什么块耦合不破坏指数衰减 ​

由块三角行列式，特征多项式正是两个对角块的乘积。也可从轨道本身看出衰减。若

则 $e(t)=e^{(A-LC)t}e(0)$，而

积分范数至多为

对任意 $0<\gamma <min\{\alpha ,\beta \}$，$t{e}^{-(min\{\alpha ,\beta \}-\gamma )t}$ 有界，故整个轨道仍有统一的 $e^{-\gamma t}$ 上界。这也覆盖两组极点重合时的多项式因子。

设计条件各自负责什么 ​

可稳定性让 $K$ 消除输入能够影响的不稳定模态；可检测性让 $L$ 消除输出能够辨别的不稳定误差模态。不可控或不可观的稳定模态可以保留，所以不要求全部状态都可控且可观。

若要全阶观测器对所有初始误差都指数收敛，$A-LC$ 必须 Hurwitz；不可观的不稳定或零实部模态会原样留在误差方程中。反馈稳定也同样需要 $A-BK$ Hurwitz。这两项条件应分别检查，不可用“可控”替代“可检测”。

若实际测量是 $y=Cx+v$，误差方程会变成 $e^{\prime }=(A-LC)e-Lv$；若模型或施加的输入与观测器内部不一致，还会出现额外项。此时必须分析噪声或失配的影响，不能只看无扰动的四个极点。采样实现也需要先转换到对应离散模型，再判断离散闭环稳定性。