固定门集近似与测量误差预算

一次旋转多转了一点，不一定让当前测量结果明显改变：计算基测量甚至可能完全看不到 $z$ 轴相位误差。但后续换基、干涉或参考纠缠可以显露差异，所以用算子范数先控制所有输入，再转成可观察概率。

多个小误差最坏可能朝同一方向积累。逐门替换、每次只比较一个差项，便得到总和预算，不需要假设误差独立或随机抵消。

用一个 $T$ 门近似 $R_z(\pi /3)$ ​

对实单位向量 $\mathbf{n}$，令 $A=n_{x}X+n_{y}Y+n_{z}Z$。Pauli 反对易关系给出 $A^2=I$，故指数级数分出奇偶项后有

特别是

同一轴上相差 $\mathrm{\Delta }=\theta -\tilde{\theta }$ 时，酉不变性将误差化成 $\Vert R_{\mathbf{n}}(\mathrm{\Delta })-I\Vert$。$A$ 的特征值为 $\pm 1$，所以差矩阵的两个奇异值都是 $2|\sin \left(\mathrm{\Delta }/4\right)|$：

这固定了矩阵相位；当 $\mathrm{\Delta }=2\pi$ 时范数为 $2$，两酉信道却相同。

用物理 $T$ 门时，比较的相位对齐代表为 $R_z(\pi /4)$，故对目标 $R_z(\pi /3)$，

输入 $|+⟩$，旋转后的 $X$ 基测量满足 $p(+\mid \theta )=(1+\cos \theta )/2$。按 $+,-$ 次序，理想与近似分布是

于是

纯态重叠给出的平方保真度公理库量子态保真度与最优纯化重叠Quantum fidelity · Uhlmann fidelity · 量子态忠实度 · Uhlmann 定理用根保真度比较混态，并通过环境酉优化证明它恰好等于固定一方纯化后的最大重叠，完整计算一对非对易混态。为 $F={\cos }^2(\pi /24)\approx 0.9829629131$。三种数值分别是当前测量偏差、最佳测量可区分度和统一算子上界，不能互换。

三个门的实际误差与预算 ​

连续三个 $R_z(\pi /3)$ 合成 $R_z(\pi )$；以三个 $T$ 替代后，相位对齐的总门是 $R_z(3\pi /4)$。因此实际总范数差为

对 $|+⟩$ 再测 $X$，理想 $+$ 概率为零，近似侧为 $(2-\sqrt{2})/4\approx 0.1464466094$。总预算虽然偏保守，却不需要预先知道输入和测量。

整体相位放入控制分支后不再整体 ​

独立操作可以按

比较，因为标量相位不改变输出密度算子。但受控门满足

多出的相位已落在控制线。最简单地，$d_{\mathrm{p}\mathrm{h}}(I,-I)=0$，但 $\mathrm{c}I=I$、$\mathrm{c}(-I)=Z\otimes I$；对 $|+⟩|0⟩$，它们给出 $|+⟩|0⟩$ 与 $|-⟩|0⟩$，测控制线 $X$ 的总变差是 $1$。

因此不能先丢弃目标门相位，再免费给它加控制。若先以相位固定的矩阵比较，则块对角结构恰有 $\Vert \mathrm{c}U-\mathrm{c}V\Vert =\Vert U-V\Vert$，不会丢掉这一差别。

任意单qubit门的旋转参数 ​

任意 $U\in U(2)$ 可选 $e^{2i\chi }=\det U$，使 $e^{-i\chi }U\in SU(2)$。后者具有形式

写 $a=|a|e^{i{\varphi }_a}$、$b=|b|e^{i{\varphi }_b}$；系数为零时相应辐角任选。取

直接乘矩阵得到

因零系数所乘项消失，这个选法覆盖 $a=0$ 或 $b=0$。若三角分别舍入 ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha },{\mathrm{\Delta }}_{\beta },{\mathrm{\Delta }}_{\gamma }$，式 (2) 加上下文乘积界给出总误差至多 $(|{\mathrm{\Delta }}_{\alpha }|+|{\mathrm{\Delta }}_{\beta }|+|{\mathrm{\Delta }}_{\gamma }|)/2$。丢弃的 $e^{i\chi }$ 仅在这个完整操作作为普通局部门时可忽略。

从算子误差到含参考系统的迹距离 ​

先证对任意有限维参考空间，$\Vert (U-V)\otimes I_R\Vert =\Vert U-V\Vert$。将向量按参考正交基写成 $\mathrm{\Psi }=\sum _r{\psi }_r\otimes |r⟩$，平方范数逐项相加，给出“$\le$”；取达到单系统最大值的向量与任意参考单位向量的乘积，给出“$\ge$”。

令 $A=U\otimes I_R$、$B=V\otimes I_R$，$\delta =\Vert U-V\Vert$。对任意密度算子 $\rho$，

对 $\rho =\sum _k{p}_k|{\psi }_k⟩⟨{\psi }_k|$，秩一算子的迹范数为两侧向量范数之积，从而

上面两个差项的迹范数因此各至多 $\delta$，除以迹距离定义中的二，得到 $D({\rho }_U,{\rho }_V)\le \delta$。证明没有参考维数因子，也没有纯态假设。把 $V$ 换成最优相位对齐代表，同样得到 $d_{\mathrm{p}\mathrm{h}}$ 的版本。

对纯输出，$D^2=1-F$，所以 $\delta \le 1$ 时还得 $F\ge 1-{\delta }^2$。这一保真度式不能不加说明地当作任意两个混态的等式。

从量子态到完整测量分布 ​

对 POVM 效应 $E_a$，令 $p_a=\mathrm{Tr}(E_a\rho )$、$q_a=\mathrm{Tr}(E_a\sigma )$，并取 $S=\{a:p_a\ge q_a\}$。总概率相等，所以

$0⪯E_S⪯I$。把 $\rho -\sigma$ 分为正负谱部分，两者迹都等于 $D(\rho ,\sigma )$，于是最后一项不超过 $D$。故整个测量分布、任何单个结果或结果事件的概率误差都受同一个 $\delta$ 控制。共同后续信道的收缩性以及经典后处理也保持此界。

逐门替换与字长 ​

空乘积约定为恒等，以下恒等式的中间项逐项相消：

两侧的酉乘积范数为一，用三角不等式即得 $\Vert U-V\Vert \le \sum _j{\delta }_j$，补齐式 (1)。普通局部门若各有相位对齐因子，它们相乘成为整个电路的一份标量相位，仍可忽略；这个说法没有授权忽略受控目标内部的相位。

若只有 $M\ge 1$ 个单qubit门需要近似，其余门精确实现，可各分配 $\delta =\epsilon /M$。由前面明确引用的合成定理，总字长为

这是使用固定编译字母表的逻辑门数。Dawson–Nielsen 的更小经典运行时间指数使用共享指针表示输出，逐门展开则至少支付输出长度；其分析还明确未计有限精度算术成本，[2, p. 7] 因而这里不把该字长界冒称为完整编译位复杂度。

QFT中的受控旋转如何落实 ​

对 $P(\theta )=\mathrm{diag}(1,e^{i\theta })$，一个相位安全的分解是

按矩阵从右到左作用，计算基 $|a,b⟩$ 的总相位为 $\theta (a+b-(a\oplus b))/2=\theta ab$，末尾两次 CNOT 恢复基标签，故对所有叠加也成立。再将三个普通 $P$ 门换成相应 $R_z$ 代表，只改变这整个两qubit门的一份整体相位。

因此精确QFT电路公理库量子 Fourier 变换Quantum Fourier transform · QFT从有限 Fourier 矩阵的酉性与二进制分解推导 Hadamard、受控相位门和位反转电路，并区分振幅变换与经典输出。的每个受控相位可由三次单qubit合成与两个精确 CNOT 实现。$m\ge 2$ 时共有 $M=3m(m-1)/2$ 个待合成旋转；逐个用 $\epsilon /M$ 精度，总测量误差至多 $\epsilon$，门数为

此外 $m$ 个 $H$、受控相位中的 $m(m-1)$ 个 CNOT，以及位反转的 $3\lfloor m/2\rfloor$ 个 CNOT 都可精确计费。$m=1$ 时只需 $H$，没有合成项。这完成从可变角度电路到固定有限门集的预算；物理路由、器件噪声与纠错资源需另建模型。