von Neumann 熵

密度矩阵在某个基的对角元给出那次基测量的结果概率；特征值则描述状态本身能够分成哪些相互正交的分量。von Neumann 熵对后一个概率分布取 Shannon 熵，因此不随坐标基改变。对已经对角化的经典状态 $\rho =\sum _j{p}_j|j⟩⟨j|$，它恰好退回 $H(p)$。

制备时抽签的概率不一定就是特征值。假如抽签后制备的两个纯态不正交，两种制备在系统中留下的状态可以部分重叠；同一密度算子还可能有多种不同的纯态混合分解。熵由最终密度算子确定，无须选定某个制备故事。下面等概率混合 $|0⟩$ 与 $|+⟩$ 的计算，就会得到小于一 bit 的状态熵。

纯态的熵为零，也不意味着所有测量都确定。例如 $|+⟩$ 在计算基测量产生公平比特；这种测量输出的随机性与输入状态的混合程度是两个对象。相反，一个整体纯态也能让局部系统具有正熵：局部状态是通过偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。丢弃另一部分得到的，联合系统中的相干关联没有完整保留在局部密度矩阵里。

非正交混合：先求谱，再求熵 ​

令 $|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}$，以相同概率制备 $|0⟩$ 或 $|+⟩$，但不保留标签。得到

其迹为 $1$，行列式为 $(3-1)/16=1/8$，所以特征多项式及特征值为

定义二元熵 $h_2(p)=-p{\log }_{2}p-(1-p){\log }_2(1-p)$。由于 ${\lambda }_{+}+{\lambda }_{-}=1$，

若 $X$ 表示制备抽签，$Z$ 表示随后在计算基测量的结果，就有三个不同的概率分布：

第三行读取的是 ${\rho }_A$ 的对角元。改在 ${\rho }_A$ 的特征基测量，结果分布才是第二行。因此计算状态熵时，不能直接拿某个方便的测量分布，也不能直接拿制备概率代替特征值。

同一局部状态，相干扩展与经典记录 ​

为这次制备引入一个寄存器 $R$，先把两个分支相干地写成

两项因 $R$ 的标签正交而彼此正交，所以此向量已归一化。在基顺序 $00,01,10,11$ 下，其坐标为 $(1/\sqrt{2},1/2,0,1/2)$。记 ${\mathrm{\Omega }}_{AR}=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|$。对 $R$ 取偏迹会消去两个分支间的交叉项，故 ${\mathrm{\Omega }}_A={\rho }_A$；对 $A$ 取偏迹则保留重叠 $⟨+|0⟩=1/\sqrt{2}$，得到

它的特征值为 $1/2\pm 1/(2\sqrt{2})={\lambda }_{\pm }$，与 ${\rho }_A$ 一致。因此 $S({\mathrm{\Omega }}_R)=S({\rho }_A)$，而联合态 ${\mathrm{\Omega }}_{AR}$ 为纯态，$S({\mathrm{\Omega }}_{AR})=0$。

若保留的是经典制备记录，联合密度算子变成

这里 $|+1⟩$ 表示 $|+{⟩}_A\otimes |1{⟩}_R$。两个向量因记录位正交而正交，故 ${\tau }_{AR}$ 的谱为 $(1/2,1/2,0,0)$，联合熵为一 bit。它仍满足 ${\tau }_A={\rho }_A$，但 ${\tau }_R=I/2$。这与相干扩展的差异可以完整列出：

两行在 $A$ 上的任何测量统计都相同，但联合态不同。实际上，在计算基测量第一行的 $R$ 并保留记录，就会得到第二行：测量消去了 $R$ 标签之间的交叉项。原来相干纯态中，$R$ 的计算基输出同样是公平比特，这再次说明输出熵与被测量状态的熵可以不同。

零熵、最大熵与适用范围 ​

单个纯态 $|+⟩⟨+|$ 的谱是 $(1,0)$，所以状态熵为零；$I/2$ 的谱是 $(1/2,1/2)$，状态熵为一 bit。二者在计算基却都有相同的公平输出。熵也不能唯一确定一个状态：全部纯态都具有零熵，而相同特征值的不同密度矩阵还可能有不同的特征向量。

本页的维数界针对有限维系统。这里比较了指定的正交基测量，并未给一般测量输出熵规定一个由状态熵决定的数值：例如效应算子 $E_j=I/m$ 构成合法测量，对任何输入都产生 $m$ 个等概率结果，输出熵为 ${\log }_{2}m$。测量装置本身可以引入随机性。

从概率分布推出基本界 ​

每个特征值都在 $[0,1]$ 内，故 $-{\lambda }_j{\log }_2{\lambda }_j\ge 0$。正特征值严格小于 $1$ 时，该项严格为正；因此 $S(\rho )=0$ 恰好要求唯一的正特征值为 $1$，也就是秩一纯态。

只保留 $r$ 个正特征值，对严格凹函数 ${\log }_2$ 应用 Jensen 不等式：

等号要求所有 $1/{\lambda }_j$ 相同，因归一化而有 ${\lambda }_j=1/r$。这说明最大熵由实际支撑维数控制：一个嵌入百维空间的秩二状态，其熵仍至多一 bit；只增加未被占据的零特征值不会增加熵。

酉不变性与乘积可加性 ​

若 $U$ 是酉算子公理库正交矩阵与酉矩阵Orthogonal matrix · Unitary matrix · 酉矩阵在实或复内积空间中保持内积的方阵，其逆分别等于转置或共轭转置。，则

向量 $U|u_j⟩$ 仍为正交单位基，所以新旧状态的特征值连同重数完全相同，$S(U\rho U^{†})=S(\rho )$。这同时解释了换正交基时的表示不变性，以及封闭系统酉演化过程中的熵不变性。

设另一个密度算子 $\sigma$ 的正特征值为 ${\mu }_k$。张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。的乘积特征向量对应特征值 ${\lambda }_j{\mu }_k$，于是

求和取遍正特征值，零特征值贡献为零。这证明了独立制备系统的可加性；对相关联合态，特征值一般不是两个边缘谱的两两乘积。上例 ${\mathrm{\Omega }}_{AR}$ 的联合熵为零而两边缘熵之和为正，正好展示这一前提的作用。

纯联合态为何具有相同边缘熵 ​

设任意纯联合态为 $|\mathrm{\Phi }{⟩}_{AR}$，其边缘态的谱分解是 ${\rho }_A=\sum _{j=1}^r{\lambda }_j|u_j⟩⟨u_j|$，其中 ${\lambda }_j>0$。沿用量子态纯化公理库量子态纯化Quantum state purification · Purification of a quantum state量子态纯化将一个混态表示成较大系统中纯态的约化态，最小辅助空间维数等于原态的秩。中的构造，令

因为偏迹给出的 ${\rho }_A$ 在 $u_j$ 基中对角，系数向量之间的内积满足 $⟨r_k|r_j⟩={\delta }_{kj}$；零特征空间对应的系数向量范数为零。因此

后一个等式对 $A$ 取偏迹得到。两个边缘态拥有相同的正特征值，空间维数不同只会多出零特征值，所以

对纯联合态，边缘熵为零当且仅当展开中只有一项，也就是联合向量为乘积向量；正边缘熵则检测到纠缠。这个结论把纯态纠缠与局部混合程度联系起来。对混合联合态，边缘熵还可能来自经典随机制备，上例的第二行就不能沿用纯态的推断。

终点自测：对本页的 ${\rho }_A$，独立制备两份时，$S({\rho }_A\otimes {\rho }_A)=2h_2((2+\sqrt{2})/4)\approx 1.201752$ bit；若改为本页的纯化 ${\mathrm{\Omega }}_{AR}$，虽然 $A$ 的状态不变，联合熵却变为零。能从特征值、乘积结构与偏迹分别解释这两个答案，便能清楚区分状态熵、制备随机性和联合相关性。