张量积谱离散与 Kronecker 和

左乘 $A$ 对 $U$ 的每一列做同样的 $x$ 微分，因此按列堆叠后表现为一组相同的对角块 $I_y\otimes A$。右乘 $B^{\mathsf{T}}$ 混合不同的列，在块层面由 $B$ 控制。

对一个可分离网格值 $U=a{b}^{\mathsf{T}}$，有 $v=b\otimes a$，而二维算子给出 $b\otimes Aa+Bb\otimes a$。这一分离式是检查方向和转置最直接的方法。

取两个方向各两个内部点。$x\in [-1,1]$ 的三次 Chebyshev 插值在齐次端点条件下，其内部二阶算子为

若 $y\in [-2,2]$，则尺度变化给出 $B=A/4$。对 $U=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，直接算得

按列堆叠的输入是 $(1,3,2,4{)}^{\mathsf{T}}$，输出应为 $(8/3,-44/3,-2,-58/3{)}^{\mathsf{T}}$。这组不同区间尺度使横纵交换错误不再被对称性掩盖。

如果程序按行存储逻辑展平，则 Kronecker 因子的次序应对应改变。内存中的连续布局与数学上的向量化约定也应分清：只要索引映射一致，任一种约定都能正确实现。

每个方向 $n$ 个内部点时，显式二维矩阵有 $n^2\times n^2$ 个位置，稠密存储为 $O(n^4)$，通用分解成本为 $O(n^6)$。矩阵自由应用 $AU+U{B}^{\mathsf{T}}$ 只需存储一维算子与 $U$，一次作用约 $O(n^3)$。可分离系数还可能使用 Sylvester 方程或特征分解进一步加速。

非零 Dirichlet 边界先进入一维消元形成的右端贡献，再组装内部系统。变系数 $a(x,y)$、混合导数和非矩形几何通常破坏简单 Kronecker 和结构，需要保留真实算子顺序。尤其 ${\partial }_x(a{\partial }_{x}u)$ 与 $a{\partial }_{xx}u$ 本来就是不同算子。