Clenshaw–Curtis 求积

Chebyshev 节点公理库Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。先让全局插值保持良好的几何分布，再把整条插值曲线下面的面积算准。因为积分会削弱高阶振荡的贡献，求积精度有时比逐点逼近误差更好。

算法先采集 $N+1$ 个节点值，以离散余弦变换求系数，再与上述精确模态积分作内积。快速变换成本为 $O(N\log N)$；如果节点权重预先算好，每个新函数只需 $O(N)$ 次乘加和 $N+1$ 次求值。

当 $N=2$，节点为 $1,0,-1$，公式为

对 $f(x)=x^2$，结果 $2/3$ 等于真积分。对 $f(x)=x^4$，三个节点值仍是 $(1,0,1)$，插值仍为 $x^2$，结果为 $2/3$，而真积分是 $2/5$。差异来自采样分辨率，展示了有限节点不能区分所有高次函数。

将 $N$ 从二加倍到四，节点新增 $\pm 1/\sqrt{2}$，旧节点全部保留。此时四次插值准确恢复 $x^4$，求积也得到 $2/5$。这种加倍嵌套可以复用函数值，适合逐步加密和误差比较。

$N+1$ 个 Clenshaw–Curtis 节点的代数精度至少为 $N$，对称性使偶数 $N$ 时再多一阶；一般不达到同样节点数 Gauss 公式的 $2N+1$。但实际误差还取决于函数系数如何衰减，代数精度一个数字不足以给所有光滑函数排序。

若已知插值一致误差不超过 $\epsilon$，则积分误差不超过区间长度乘它，在这里是 $2\epsilon$。两次嵌套求积的差只是可计算误差指示；函数若在所有采样点恰好隐藏尖峰，这个差也可能误导。

含端点奇点时，闭型节点会直接遇到不可求值位置，应先变换变量、分段或选择相应开型规则。对一般区间，按仿射映射变换节点，并把最终权重乘 $(b-a)/2$。