多项式结式计算

在域上，两个正次数多项式是否在代数闭包中有公共根，看似需要先求根；结式把问题改写成一个系数矩阵是否奇异。Sylvester 矩阵编码了是否存在次数受限且不全为零的 $U,V$，使 $UA+VB=0$。行列式消失表示这些移位系数向量线性相关，也就是两个主理想在给定次数窗口中发生了非平凡交叠。

根乘积公式则给出另一幅图像：把 $B$ 逐一放到 $A$ 的所有根上相乘，只要一个共同根出现，整个乘积便归零。算法不必真的构造这些代数根；行列式与余式链是两种把同一对称根表达式留在基域中的办法。前者概念直接，后者复用 Euclidean 结构，通常更能控制精确系数。

沿用

其 Sylvester 矩阵可取

行列式为 $2-9+9=2$。另一方面，伪除法给出 $9A=(6x+7)B+2$，子结式 PRS 的标量末项也为 $2$。由于结式非零，两式在 $\mathbb{Q}[x]$ 中没有公共因子。若把 $A$ 改为 $(x-1)(2x+1)$、$B$ 改为 $3(x-1)$，Sylvester 行列式立刻为零，公共根 $1$ 正是消失原因。

边界首先来自底环。在任意交换环上行列式总有定义，但“结式为零当且仅当有公共根”需要放到合适的域或整环及其代数闭包中解释；有零因子时，一个非零结式也可能成为零因子，线性代数判据不能原样搬用。其次，若参数特殊化后首项变成零，多项式实际次数下降，按原固定次数建立的 Sylvester 矩阵会带入无穷远处或首项退化的信息，必须单独讨论。

异常次数下降还会改变标量恢复。例如 $A=x^2+1$、$B=x^2-1$ 的伪余式是 $2$，本页链接的 PRS 约定产生末项 $-2$；但域上递推给出 $\mathrm{Res}(A,B)=\mathrm{Res}(2,B)=2^2=4$。末项为常数只说明 GCD 次数为零，不说明该常数本身就是结式。

符号也常造成错误。不同教材按升幂或降幂排列系数、先放 $A$ 还是 $B$，行列式可能相差 $(-1{)}^{mn}$；只判断是否为零不受影响，数值结式与判别式公式却会受影响。大整数输入上直接 Gaussian 消元还可能制造巨额分母，使用 fraction-free 消元或 PRS 才能保住整性。

对次数为 $m\ge 1$、首项为 $a_m$ 的多项式 $A$，在首项可逆的情形，判别式满足

若 $A^{\prime }\ne 0$，它把重根检测归结为前面定义的结式。若系数在正特征的域中且 $A^{\prime }=0$，非恒定 $A$ 在代数闭包中有重根；此时将 $\mathrm{Res}(A,0)$ 扩展约定为零，判别式也为零。多元消元中，把 $A,B$ 看成关于变量 $x$ 的一元多项式、其余变量留在系数环中，${\mathrm{Res}}_x(A,B)$ 消去 $x$，为公共零点投影给出必要方程；出现首项退化或额外因子时，还需饱和、子结式条件或 Gröbner 基进一步筛选。

结式也用于代数数的最小多项式候选、隐式化、有理函数分子分母的公共因子检测和几何交点计数。它提供的是消元证书而非完整解集：在域上，结式为零指出存在公共因子，却不能直接告诉因子的次数与系数；为此应继续读取主子结式或计算 GCD。把“零检测”“数值计算”“恢复公共因子”分成三个接口，可避免一个巨大 Sylvester 行列式承担所有工作。

在 $m+n>0$ 时，稠密 Sylvester 矩阵占 $O((m+n{)}^2)$ 个系数槽；若系数在域中，普通 Gaussian 消元用 $O((m+n{)}^3)$ 次域算术即可求其行列式。一般环上的无除法算法须另行计费，系数的位长度与位运算成本也不包含在这个算术界内。上面的域上余式递推若只滚动保存常数个系数向量而不保留整条链，可用 $O(m+n)$ 个系数槽；常数输入仍按已有边界分支处理。