极分解与 Newton 正交化

形式陈述

一个可逆实矩阵既改变长度，也改变方向。如何把这两种作用拆开，并找出离它最近的正交矩阵？

对非奇异 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ ，存在唯一分解

A=UH,\qquad U^TU=I,\qquad H=H^T\succ0.

它称为 极分解，其中 $H$ 是对称正定伸缩， $U$ 是正交因子。具体地， $H=(A^TA)^{1/2}$ 、 $U=AH^{-1}$ 。若奇异值分解为 $A=P\Sigma Q^T$ ，则

U=PQ^T,\qquad H=Q\Sigma Q^T.

唯一性来自 $H^2=A^TA$ 的正定平方根唯一，再由 $U=AH^{-1}$ 确定方向因子。

Newton 正交化

不显式求 SVD 时，可运行

X_0=A,\qquad X_{k+1}=\frac12(X_k+X_k^{-T}).

实现为解 $X_k^TY_k=I$ ，再令 $X_{k+1}=(X_k+Y_k)/2$ 。这是一种固定点迭代；非奇异输入下，精确运算中的所有迭代都有定义，并收敛到 $U$ 。

证明保持相同的左右奇异向量： $X_k=P\Sigma_kQ^T$ ，每个正奇异值独立更新为

\sigma_{k+1}=\frac12(\sigma_k+\sigma_k^{-1}),\qquad \sigma_{k+1}-1=\frac{(\sigma_k-1)^2}{2\sigma_k}.

第一轮后 $\sigma_k\ge1$ ，随后单调趋于 $1$ ，接近目标时误差满足二次上界；若初值已正交，轨道从一开始就保持不变。因此 $X_k\to PQ^T$ 。

直觉

$H$ 沿一组正交轴拉伸或压缩， $U$ 再整体改变方向。Newton 更新保留这组左右方向，专门把每个奇异值推向一：过大的奇异值与其倒数取平均，过小的奇异值也被倒数拉回。它不是逐列单独归一化。

图中原始单位圆被送成椭圆；正交因子只改变方向，不改变长度。下方两条奇异值轨道在第一轮后都落到 $1$ 上方，再向同一个目标靠拢。

例子与边界

一个剪切与伸缩混合的矩阵

取

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}.

它的极分解为

U=\frac1{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix},\qquad H=\frac1{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}6&2\\2&4\end{pmatrix}.

直接检查 $U^TU=I$ 、 $UH=A$ ，且 $H$ 的特征值为正。前两轮 Newton 更新是

X_1=\begin{pmatrix}5/4&1/2\\-1/4&1\end{pmatrix},\qquad X_2=\begin{pmatrix}87/88&15/44\\-27/88&21/22\end{pmatrix}.

奇异值从约 $(2.28825,0.874032)$ 变为 $(1.36263,1.00908)$ ，再变为 $(1.04825,1.0000408)$ ；正交性残差 $\|X_k^TX_k-I\|_F$ 依次约为 $4.24264,0.856957,0.0988337$ 。

这个 $A$ 已是正对角上三角矩阵，其常规 QR 分解可取 $Q=I$ 。但

\|A-I\|_F=\sqrt2,\qquad \|A-U\|_F=\sqrt{8-2\sqrt{10}}\approx1.29439<\sqrt2.

QR 给出的正交基解决列空间表示问题，极因子解决最近正交矩阵问题，两个目标产生不同答案。

正交因子可能是反射

取 $A=\operatorname{diag}(-2,1)$ 。其极因子是 $U=\operatorname{diag}(-1,1)$ ，行列式为 $-1$ ，距离为 $1$ 。如果应用要求行列式必须为 $+1$ ，可行集合就变成旋转群。

对二维旋转 $R(\theta)$ ， $\operatorname{tr}(A^TR(\theta))=-\cos\theta$ ，最大值在 $\theta=\pi$ 取得。故最近旋转是 $-I$ ，距离 $\sqrt5$ 。直接返回普通极因子，会违反这个额外的方向保持约束。

秩亏时改变了哪些结论

当 $A$ 秩亏时， $H=(A^TA)^{1/2}$ 仍唯一，但完整正交因子在零奇异值方向上不唯一，Newton 更新中的逆也不存在。矩形满列秩矩阵有相应的薄极分解，可先作 QR 再处理方形因子；本页迭代及唯一最近正交矩阵证明的主接口限定为非奇异方阵。

推论与应用

对于精确 Newton 轨道，第一轮以后所有奇异值至少为一，所以

\|X_k-U\|_F^2=\sum_i(\sigma_i-1)^2 \le\frac14\sum_i(\sigma_i^2-1)^2 =\frac14\|X_k^TX_k-I\|_F^2.

这给出轨道上正交性残差到因子误差的界。对任意一个外部给出的近正交矩阵，仅有小正交性残差当然不能证明它接近正确的 $U$ ；还要检查 $H=U^TA$ 的对称正定性与重构关系。

每轮需要一次多右端线性求解，稠密工作为 $O(n^3)$ ，存储 $O(n^2)$ 。极分解可用于将数值演化后的矩阵拉回正交约束、刚体配准和正交近似，但必须先明确是否允许反射，以及接近秩亏时能接受怎样的敏感性。

单元任务：把函数值、导数与分支分别验清

对 $T_\varepsilon=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1+\varepsilon&3\\0&0&4\end{pmatrix}$ ，取 $\varepsilon=0.1,10^{-6},10^{-12},0$ ，计算指数、主平方根和主对数。用 $\varepsilon=0$ 的精确公式核对极限，再计算非交换方向 $E=e_2e_1^T$ 的指数导数。比较完整指数与只求 $e^{T_\varepsilon}e_3$ ，记录真正执行的乘法、求解和矩阵向量乘次数。

验收时需要分别给出函数值误差、平方或指数重构残差、主分支条件及导数交叉核验。另用四节点扩散例检查 Krylov 缺陷积分界，不能把终点缺陷当作误差。完整推导、数值和接受标准见单元题解；可运行核验脚本依赖 NumPy、SciPy 和 mpmath，并给出对应版本及八十位参照计算。

参考资料

Nicholas J. Higham, “Computing the Polar Decomposition—with Applications,” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 7(4), 1986, pp. 1160–1174, §§2.1–2.2、3.1–3.2：极分解、最近正交因子及 Newton 奇异值迭代。作者版本
Nicholas J. Higham and Lijing Lin, Matrix Functions: A Short Course, 2013, §6.9：矩阵迭代与稳定实现的区分。作者版本

形式陈述 ​

最近正交矩阵 ​

Newton 正交化 ​

一个剪切与伸缩混合的矩阵 ​

正交因子可能是反射 ​

秩亏时改变了哪些结论 ​

单元任务：把函数值、导数与分支分别验清 ​

反向链接