多重网格的平滑性质

相邻节点一正一负的误差，其局部二阶差分很大，残差修正容易发现并改变它。缓慢起伏的误差在邻点之间差异很小，即使全局幅度明显，局部更新也只会挪动一点。

高频区的统一界 ​

令 ${\theta }_k=k\pi /(n+1)$，把 ${\theta }_k\ge \pi /2$ 的模态称为本页高频。于是 $\cos {\theta }_k\in [-1,0]$，对于 $0<\omega \le 1$，

用连续频段端点作统一最坏界，选择 $\omega =2/3$ 平衡两端，得到高频衰减因子至多 $1/3$。连续做 $\nu$ 步，高频部分在 Euclidean 范数及 $A$-能量范数中都至多缩小到 $3^{-\nu }$；因为这里的正弦模态在两种几何下都相互正交，逐模态界可以直接相加。

低频 $k=1$ 则有

所以网格加密后，高频仍只需几步，最慢低频却需越来越多步。多重网格的设计正是让另一个粗空间机制负责后者。

取 $n=15$，初始误差为 $e=v_1+v_{12}$。一步 $\omega =2/3$ 加权 Jacobi 后，

两个数来自 $\cos \left(\pi /16\right)$ 与 $\cos \left(3\pi /4\right)$。高频幅度只剩约 $13.8\mathrm{\%}$，负号表示相位翻转；低频仍保留约 $98.7\mathrm{\%}$。图形会显著变平滑，但并没有同幅度地接近零。

若再做三步，总共四步，高频振幅成为原来的约 $0.00036$，低频仍约为 $0.9497$。看到锯齿消失不能据此判断系统已解好；停止时仍需检查目标残差和相应误差指标。

为什么普通 Jacobi 不够 ​

取 $\omega =1$，最高频 $k=15$ 的放大因子是

它每步几乎只翻转符号而不减幅，因而普通 Jacobi 对最锯齿的模式也不够有效。加权不是单纯“把步长调慢”，而是把接近 $-1$ 的高频特征值移回较小的区间。

从这个模型不能推出什么 ​

这个分析依赖均匀网格、常系数和给定边界。对强各向异性的二维算子，例如一个方向的耦合远弱于另一个方向，沿弱方向剧烈振荡的几何高频仍可能具有较低代数能量，点 Jacobi 未必迅速衰减它。此时可以考虑线平滑、块平滑或相应的半粗化，但必须重新分析所选算子。

一般正定矩阵上的加权 Jacobi，收敛范围是 $0<\omega <2/{\lambda }_{max}(D^{-1}A)$；本页的 $2/3$ 不是所有问题的通用安全参数。这里的迭代次数也不是物理时间，不能将误差传播分析直接改写为 PDE 时间推进稳定性。

有限差分离散公理库偏微分方程有限差分法Finite-difference method for PDE · Finite-difference PDE discretization · Difference stencil由 Taylor 展开构造 PDE 差分模板，完整处理编号与边界，并用小系统、离散能量和制造解检验计算。产生本页的模型矩阵；平滑器只减少这个已经固定的离散系统的代数误差，并不修复离散误差。

记稀疏表示实际存储的槽位数为 $s$，计入重复项与显式零。一次加权 Jacobi 耗费 $O(n+s)$ 工作，包括对角缩放、矩阵向量乘及完整向量的初始化。固定做两三步很便宜，但若一直单独重复直到低频也收敛，总工作随网格细化仍会恶化。

两网格粗校正公理库两网格粗空间校正Two-grid method · Galerkin coarse-grid correction从限制残差构造 Galerkin 粗系统，证明校正是能量正交投影，并用七节点链区分完全消除、能量下降与粗空间完全不可见。补上这一缺口：先削弱粗空间难以表示的振荡部分，再用粗问题处理能被粗空间捕获的成分。完整收敛理论需要平滑与逼近能力互相配合；只证明一个高频因子小，还没有证明整个两网格方法高效。