多重网格 V-cycle

细层的平滑公理库多重网格的平滑性质Multigrid smoothing property在一维 Poisson 正弦模态上计算加权 Jacobi 的频率放大因子，证明高频三分之一衰减，并区分平滑能力、整体收敛与各向异性边界。清理局部振荡，剩余困难转给粗层。粗层拿到的同样是一个待修正残差，它也先平滑，再把更长尺度交给下一层。回程时，每一层把下层提供的修正译回自己的变量，再清理延拓引入或尚未消除的误差。

线性成本需要哪些前提 ​

若最粗层规模有统一的常数上界，每层矩阵与延拓的实际存储槽位数均为 $O(n_{\ell })$（计入重复项与显式零），每步平滑的工作也是 $O(n_{\ell })$、平滑次数固定，且 $n_{\ell +1}\le \theta n_{\ell }$、$0<\theta <1$，则一次循环的成本递推公理库递推关系Recurrence relation用先前项规定序列当前项的关系。为

层级存储在同样假设下也是线性的。设置 Galerkin 粗矩阵、寻找聚合或构造延拓的成本另计。若粗矩阵越来越稠密，或相邻层规模几乎不降，一次循环就没有上述线性保证。

线性成本也不等于线性时间求到任意精度：还需循环次数不随网格显著增长。这一收敛结论需要平滑与粗空间逼近性质，而不是由 V 形调用图本身推出。

七节点的一次完整循环 ​

取 $A_0=T_7=\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$，$b=(1,0,0,0,0,0,1{)}^T$，$x_0=0$，精确解为全一向量。使用线性插值、转置限制及一次 $\omega =2/3$ 加权 Jacobi 预平滑和后平滑。层级矩阵为

细层一次预平滑给出 $x=(1/3,0,0,0,0,0,1/3{)}^T$，残差为 $(1/3,1/3,0,0,0,1/3,1/3{)}^T$，限制后得到粗右端 $(1/2,0,1/2{)}^T$。

三节点层从零开始。该层对角为 $1$，一次预平滑得到 $(1/3,0,1/3{)}^T$，残差为 $(1/6,1/3,1/6{)}^T$。再限制到一节点，右端为 $1/2$；最粗方程 $(1/2)z=1/2$ 返回 $z=1$。

延拓到三节点为 $(1/2,1,1/2{)}^T$，与该层预平滑结果相加，成为 $(5/6,1,5/6{)}^T$。后平滑一次后，三节点层返回

它不是精确粗解 $(1,1,1{)}^T$，因为这里只做了一个粗 V-cycle。延拓并加回细层，得到

最后细层后平滑返回

原残差为

能量误差平方从 $2$ 降为 $25/1458$。这些状态同时核对了粗矩阵尺度、限制对象、零初值、校正符号和前后平滑次序。

十五节点时同一规则产生 $15\to 7\to 3\to 1$ 层级，各矩阵为 $2^{-\ell }{T}_{n_{\ell }}$。把它们都替换成未缩放的 $T_{n_{\ell }}$，却保持原限制右端，不能复现上述算法。

错把粗右端设为限制当前解 ​

如果在细层把 $b_c$ 设成 $P^{T}x$，从 $x=0$ 开始时它就是零，完全没有把原方程的不平衡传给粗层。即使当前解非零，这个量也不满足粗误差方程。正确对象始终是平滑后的 $P^T(b-Ax)$。

何时可作为标准 PCG 的预条件应用 ​

把整个层级固定，以零初值运行一轮，可定义 $B_{\ell }b={\mathrm{Vcycle}}_{\ell }(0,b)$。固定次数线性平滑和线性粗求解使它保持线性；要满足标准正定预条件接口公理库预条件Preconditioning · Preconditioner用易应用的近似逆改变等价线性系统的尺度与 Krylov 几何，并计入构造、存储和每步应用成本。，还要检查对称与正定。

考虑一对预后平滑：预平滑应用 $W$，后平滑应用 $W^T$，粗应用为 $K=P{B}_{\ell +1}{P}^T$。展开三步更新可得

若粗应用正定，则第二项形式为一个半正定合同。若平滑的对称化部分

整个 $B_{\ell }$ 就对称正定。最粗层为精确正定逆，因而可逐层归纳。

对 $W=\omega D^{-1}$，有

所以 $0<\omega <2/{\lambda }_{max}(D^{-1}{A}_{\ell })$ 足够。本例各层都是缩放链矩阵，$\omega =2/3$ 满足此条件。脚本把每个标准基向量送入循环，实际构造小例子的应用矩阵并检查对称性和正主元；证明则不依赖只测这些例子。

前向 Gauss–Seidel 若同时用于前后两个方向，并不自动构成上述转置配对；常见对称选择是前扫与后扫。改变内层容差或因输入而提前停止，也可能使应用可变或非线性。应先建立接口性质，再调用标准 PCG公理库预条件共轭梯度法Preconditioned conjugate gradient method · PCG · 预条件共轭梯度从固定正定预条件器的对称坐标变换推导 PCG，以加权残差生成共轭方向，并用三步算例区分能量收敛、原残差与总成本。，不能仅因为方法名叫多重网格就跳过这一步。

自适应网格加密改变离散空间以降低离散误差；V-cycle 在固定目标离散系统内部使用层级减少代数误差。一次求解可以同时使用二者，但任务和验收量应分开。