两网格粗空间校正

不知道真实误差 $e$，却知道它满足 $Ae=r$。粗方法只尝试形如 $Pz$ 的误差修正，并要求剩余误差对所有粗方向都不再有能量内积：

这恰好就是粗方程。因此粗校正不是“把细解简单平均一下”，而是在指定粗空间中寻找最合适的一次修补。

精确的投影与最优性 ​

记 $Q=I-C=P{A}_c^{-1}{P}^{T}A$。利用 $A_c=P^{T}AP$ 可验证 $Q^2=Q$，且 $AQ=Q^{T}A$，所以 $Q$ 是到 $\mathrm{range}(P)$ 的 $A$-正交投影，$C$ 是其正交补投影。

由此得到三条不同结论：

• 若 $e=P{z}_0$，则 $Ce=0$，粗校正完全消除它。
• 对任意 $e$，$\Vert Ce{\Vert }_A\le \Vert e{\Vert }_A$，能量误差不增。
• 若 $P^{T}Ae=0$，则粗残差为零、$Ce=e$，粗校正完全看不见这个误差。

第二条并不等于每个坐标幅度或 Euclidean 范数都下降。更准确地，

投影几何使用的正定性公理库正定与半正定矩阵Positive definite matrix · Positive semidefinite matrix · PSD matrix由二次能量严格为正或非负定义的实对称与复 Hermitian 矩阵。同时保证唯一粗解与能量范数；任意非对称矩阵不能直接沿用这套证明。

取七节点链 $A=\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$，本例细节点采用零起始编号 $0,\dots ,6$。粗节点落在细节点 $1,3,5$，相邻中点线性插值，外边界保持零。延拓为

这里 $A_c=\frac{1}{2}\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$，不是未经缩放的三阶同模板矩阵。所有尺度必须与实际 $R,P$ 一起计算。

一份可被完全消除的误差 ​

取 $z_0=(1,2,1{)}^T$，则

因为 $r_c=P^{T}Ae=A_c{z}_0$，粗方程恰好返回 $z_0$，延拓后误差为零。这个等式对粗空间中的每个向量都成立，不依赖只检查这一个示例。

交替误差并非完全不可见 ​

改取

先实际计算：

首尾边界使粗残差不为零。粗方程返回 $z=(1,1,1{)}^T$，剩余误差为

能量平方由 $26$ 降到 $25$，只消除很小一部分；Euclidean 范数平方反而由 $7$ 增到 $25/2$。所以它说明“粗空间不能有效地独自处理这类振荡”，不说明“所有交替误差都完全不可见”。

若要一个真正不可见的向量，可以取 $e=(1,0,0,0,0,0,0{)}^T$。此时 $Ae=(2,-1,0,\dots ,0{)}^T$，第一粗分量为 $2(1/2)-1=0$，其余也为零，故粗校正完全不动。这一条件由 $P^{T}Ae=0$ 认证，而不是从曲线外观猜测。

限制尺度与近似粗解 ​

一维 full weighting 常写为 $R=\frac{1}{2}{P}^T$。若同时使用 $A_c=RAP$ 和 $r_c=Rr$，两处共同因子消去，所得校正与本页相同。只改限制而沿用旧粗矩阵，或只把 $A_c$ 换成未匹配尺度的模板，会改变校正量。

若用近似粗逆 $B_c$，则传播算子成为 $I-P{B}_c{P}^{T}A$，通常不再是投影，也不能继续声称 $e\in \mathrm{range}(P)$ 时一步完全归零。这正是递归多重网格需要继续分析的地方。

加入 ${\nu }_1$ 次预平滑与 ${\nu }_2$ 次后平滑后，两网格误差传播为

矩阵次序必须与执行次序一致，右端先作用。平滑负责粗空间难以表示的成分，粗校正负责其能够逼近的成分；二者的互补性决定整个方法的收敛。

一次应用还需支付细矩阵乘法、$P^T$ 限制、粗求解和 $P$ 延拓的成本。若粗系统仍很大，精确求解它并不便宜。V-cycle公理库多重网格 V-cycleMultigrid V-cycle递归求解残差方程，逐层展开七节点链的一次完整 V-cycle，并证明对称稳定平滑如何给出可供 PCG 使用的固定正定应用。用同一机制继续递归，而平滑聚合 AMG公理库平滑聚合代数多重网格Smoothed aggregation AMG · Smoothed aggregation algebraic multigrid由聚合和近零候选构造初始粗基，再平滑延拓；逐项计算八节点链的粗矩阵、常量再现缺陷与算子复杂度。从矩阵与候选慢方向构造 $P$，不一定需要一张几何粗网格。