偏微分方程有限差分法

形式陈述 ​

考虑带边界条件的偏微分方程公理库偏微分方程Partial differential equation · PDE含未知多元函数及其偏导数的方程。

$$\mathcal{L}u=f\text{in }\mathrm{\Omega },\mathcal{B}u=g\text{on }\partial \mathrm{\Omega }.$$

在网格公理库网格与网格剖分Grid and mesh discretization · Structured grid · Unstructured mesh用节点、单元及其几何映射离散计算区域，并以局部尺度、形状正则性和边界拟合质量描述一族网格。上，限制算子 $R_h$ 把连续函数采样成网格函数，离散算子 $L_h$ 则在每个适用节点用有限个邻点值近似 $\mathcal{L}$。一个节点所用的偏移集合及其权重称为 stencil。有限差分 PDE 方法不止计算某一点的导数：所有内部 stencil 与边界闭合共同规定一组耦合方程

$$L_h{U}_h=f_h,B_h{U}_h=g_h,$$

消去已知边界值或并入边界行后，得到全局系统

$$A_h{u}_h=b_h.$$

以单位正方形上的 Dirichlet Poisson 问题

$$-\mathrm{\Delta }u=f,u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=g$$

为例。取均匀步长 $h$，对内部节点 $(x_i,y_j)$ 使用二阶中心差分，可得五点 Laplacian

$$(L_{h}U{)}_{ij}=\frac{4U_{ij}-U_{i-1,j}-U_{i+1,j}-U_{i,j-1}-U_{i,j+1}}{h^2}.$$

若某个邻点位于 Dirichlet 边界，其已知值应乘相应系数后移入右端，而不是把这一项删掉。对连通矩形内部网格和齐次 Dirichlet 条件，$A_h$ 对称正定，主对角为正、相邻耦合为负；这种 M-matrix 结构还给出离散最大值原理和对数据扰动的单调控制。它是这一特定算子与边界处理的性质，并非任意高阶 stencil 都自动拥有。

若每个内部节点只与固定数量邻点耦合，则 $A_h$ 是稀疏矩阵公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix · CSR matrix · CSC matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。。在 $m\times m$ 内部网格上有 $N=m^2$ 个未知量，五点格式每行至多五个非零元，故 $\mathrm{nnz}(A_h)\le 5N$。按行列下标作字典序编号时，矩阵呈块三对角结构；编号方式会改变带宽和缓存访问，却不改变网格邻接所代表的局部耦合。

内部一致性通过把精确解代入 stencil 检查。若 $u$ 有一致有界的四阶空间导数，则

$$(L_h{R}_{h}u{)}_{ij}=-\mathrm{\Delta }u(x_i,y_j)+O(h^2).$$

这里的 $O(h^2)$ 是内部离散算子的局部缺陷。要推出离散解 $u_h$ 的全局二阶误差，还需边界闭合具有相容精度、离散解算子在所选范数中稳定，并且真解具有相应正则性。局部 stencil 阶不能跳过这些条件直接改名为 PDE 解的全局阶。

边界算子必须单独离散。Dirichlet 条件通常直接给出边界节点值；Neumann 条件可用单侧法向差分、ghost point 或控制体积通量闭合；Robin 条件同时进入未知值和法向导数。曲边上还要近似边界位置与法向。宽的高阶内部 stencil 到达边界时没有足够的双侧节点，必须设计 one-sided closure 或引入有明确定义的 ghost 值，不能越界读取或复制端点。

对演化方程，空间和时间 stencil 还要区分。例如一维 advection–diffusion 方程

$$u_t+a{u}_x=\nu u_{xx}$$

可在空间上使用迎风或中心一阶差分，并对扩散项使用中心二阶差分；随后再选时间推进得到全离散格式。空间步长 $h$ 控制空间缺陷，时间步长 $\mathrm{\Delta }t$ 控制时间缺陷与放大因子，两者不能用同一个未加说明的“网格步长”代替。

直觉 ​

单个 stencil 是一条局部平衡规则。把它放到每个内部节点后，相邻节点会反复出现在彼此的规则中，于是局部导数近似自然拼成一个全局稀疏系统。矩阵的一行对应一个节点方程，非零位置对应 stencil 覆盖的邻居。

Poisson 五点格式可看作带几何尺度 $h^{-2}$ 的网格图 Laplacian：中心值与四个邻居之差衡量局部弯曲。这个图像解释了稀疏结构，却不能取代几何；非均匀间距、曲边或变系数会改变权重，即使邻接图完全相同。

迎风差分只从信息到来的方向取值，会引入数值耗散；中心差分左右对称，空间截断阶较高，却不自行抑制网格尺度振荡。哪个 stencil 合适取决于 PDE 的传播方向、边界和时间积分，而不是只比较 Taylor 展开中的指数。

例子与边界 ​

对 $\mathrm{\Omega }=(0,1{)}^2$ 上的光滑解

$$u(x,y)=\sin \left(\pi x\right)\sin \left(\pi y\right),-\mathrm{\Delta }u=2{\pi }^{2}u,$$

齐次 Dirichlet 边界与网格节点精确对齐。把真解采样到均匀内部网格，五点算子满足

$$L_h{R}_{h}u={\lambda }_h{R}_{h}u,{\lambda }_h=\frac{8}{h^2}{\sin }^2\left(\frac{\pi h}{2}\right)=2{\pi }^2+O(h^2).$$

因此离散解为 $u_h=(2{\pi }^2/{\lambda }_h)R_{h}u$，节点误差确为 $O(h^2)$。这个结论同时使用了光滑特征函数、规则网格、准确边界和可逆离散算子，不是“任意五点 stencil 都二阶收敛”的替代证明。

对 $a>0$ 的周期 advection 方程 $u_t+a{u}_x=0$，前向 Euler 配一阶迎风差分给出

$$U_i^{n+1}=(1-C)U_i^n+C{U}_{i-1}^n,C=\frac{a\mathrm{\Delta }t}{h}.$$

当 $0\le C\le 1$ 时，新值是当前值与上游值的凸组合，格式保持单调。迎风格式的放大因子满足

$$G_{\mathrm{up}}(\theta )=1-C+C{e}^{-i\theta },|G_{\mathrm{up}}(\theta ){|}^2=1-4C(1-C){\sin }^2\frac{\theta }{2}.$$

因此 $0<C<1$ 时非零频率通常受到数值耗散；端点 $C=1$ 则有 $G_{\mathrm{up}}=e^{-i\theta }$，恰好把网格数据平移一格，并不抹平波形。若改用中心空间差分，放大因子为 $G(\theta )=1-iC\sin \theta$，所以

$$|G(\theta ){|}^2=1+C^2{\sin }^2\theta >1$$

在 $C\ne 0$ 且 $\sin \theta \ne 0$ 时成立。Nyquist 模态 $\theta =\pi$ 恰落在中心一阶导数符号的零点，故 $G(\pi )=1$；其他可达频率已经足以使固定非零 Courant 数的网格族不稳定。中心差分的空间公式虽是二阶，配前向 Euler 后仍会放大扰动；这具体说明局部空间阶不能替代全离散稳定性分析。

边界会改变系统本身。纯 Neumann Poisson 问题的常数向量位于离散零空间，右端还必须满足离散兼容条件；即使条件成立，解也只确定到一个加法常数，计算时需施加零均值约束或固定一个规范自由度。此时矩阵奇异是数学结构，不应被误报为普通分解故障。advection 问题则通常只在流入边界给数据，在流出端机械施加同样多的条件可能过度约束。

非光滑解会使形式阶失效。带重入角的区域可能让 Poisson 解缺少四阶正则性；间断系数、激波或未解析的边界层也会让 Taylor 余项不再一致有界。此时应使用适合弱解或守恒律的误差框架，并通过局部加密、单调格式或其他离散方法处理，而不是继续加宽同一 stencil。

实现层的失败接口应在装配时暴露：缺失边界标签、stencil 邻点越界、重复或悬空未知量、非有限系数、意外空行以及与边界条件不符的零空间。线性求解器只负责已定义的 $A_h{u}_h=b_h$；它无法判断右端是否漏加了边界贡献，也无法修复错误的网格几何。

推论与应用 ​

有限差分公式公理库有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。负责单个导数权重和局部截断项，本页负责把这些权重放进完整 PDE、边界条件与稀疏系统。后续的一致性—稳定性—收敛性分析需要明确离散范数、边界闭合和解的正则性；von Neumann 分析则只在适当的规则网格与系数条件下研究 Fourier 模态。

可复查的计算应报告区域与边界条件、网格族、内部和边界 stencil、$h$ 与 $\mathrm{\Delta }t$、未知量编号、矩阵维度与 $\mathrm{nnz}$、求解残差及独立误差范数。若只比较相邻网格解，应把结果称为误差估计；若迭代误差尚未低于离散误差，也不能据此拟合空间收敛阶。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, unpublished text, 1996, finite-difference operators and stability.
• John C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, 2nd ed., SIAM, 2004.
• Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007.
• MIT OpenCourseWare, 18.336, Numerical Methods for Partial Differential Equations, finite-difference and stability notes.