对称函数与 Schur 基

固定次数 $d$ 的单项式最多使用 $d$ 个不同变量。变量数达到 $d$ 后，虽仍会出现更多具体单项式，却不会出现新的指数分拆类型。对称性让同一类型的系数相同，所以稳定的是这些类型的系数表，而不是某个有限变量多项式的字面写法。

Schur 构造先把对称性改成换位变号的交错性。交错多项式在任意两个变量相等时必须为零，因此含有全部差因子 $x_i-x_j$。除去共同的 Vandermonde 因子后，变号抵消，留下对称多项式。严格递减指数对应分拆，这正把交错空间中容易看见的基搬到对称空间。

三次部分与 $s_{(2,1)}=e_1{e}_2-e_3$ ​

次数 $3$ 只有三个分拆 $(3),(2,1),(1,1,1)$。三变量中，以不同单项式各计一次的轨道和为

因此 $\dim {\mathrm{\Lambda }}_3^3=3$。对于 $\lambda =(2,1,0)$，有 $\lambda +{\delta }_3=(4,2,0)$，式 (1) 给出

分子是以 $x^2,y^2,z^2$ 为变量的 Vandermonde 行列式，故

在多项式整环中约去非零多项式 ${\mathrm{\Delta }}_3$，得到

这里 $e_k$ 是基本对称式，展开 $e_1{e}_2$ 时，每个 $x^{2}y$ 型项出现一次，$xyz$ 出现三次；减去 $e_3=xyz$ 就留下系数二。三次稳定同构又保证，三变量中的这个恒等式唯一确定 ${\mathrm{\Lambda }}^3$ 中的恒等式

稳定的 $e_k$ 指各变量数下的基本对称式相容序列；当变量数小于 $k$ 时，该坐标为零。

代入 $(x,y,z)=(1,2,3)$，

可作两次独立核对：乘积形式给出 $(1+2)(1+3)(2+3)=3\cdot 4\cdot 5=60$；分子行列式为 $-120$，分母为 $(1-2)(1-3)(2-3)=-2$，商仍为 $60$。这也沿用了对称多项式页三次方程的 $e_1=6,e_2=11,e_3=6$ 数据。

当变量碰撞，例如 $(1,1,1)$，行列式分式的分子分母都为零，但多项式值仍由 (2) 给出 $8$。Schur 多项式没有在这里失去定义；不能把未约分的数值 $0/0$ 当作求值方式。

变量不足与次数无界 ​

两变量时 $m_{(1,1,1)}$ 消失，${\mathrm{\Lambda }}_2^3$ 只有二维。非零对称函数 $e_3$ 在两个变量中变成零，因此仅验证一个两变量恒等式不足以证明三次对称函数恒等式。相反，三变量已经达到本例所需的稳定范围。

图中每列的 $m_{\lambda }$ 都指该列变量数下的轨道和。箭头从多变量指向少变量；右侧三个基向量都保留，左侧最后一个被置零。换用 Schur 基后，长度超过变量数的基向量也按同样规则消失。

相容性本身也不保证属于 $\mathrm{\Lambda }$。令

置 $x_{n+1}=0$ 后，$e_{n+1}$ 消失，其他项降为相应的 $n$ 变量式，所以 $(F_n)$ 相容。但 $\mathrm{deg}{F}_n=n$ 无统一上界，它不在上述直和环中。若要容纳这种序列，必须改用更大的完成对象；本页的每个 Schur 展开都只有有限项。

单项式轨道给出固定次数的稳定 ​

对 $|\lambda |=d$、$\ell (\lambda )\le n$，令 $m_{\lambda }^{(n)}$ 为元组 $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ 的所有不同排列对应的单项式之和。一个齐次多项式对称，当且仅当同一置换轨道中各单项式的系数相同。因此

张成 ${\mathrm{\Lambda }}_n^d$；不同轨道不交，又保证线性无关。

将最后一个变量置零，含其正幂的项消失，其余项恰好给出 $m_{\lambda }^{(n)}$。若 $\ell (\lambda )=n+1$，每项都含全部 $n+1$ 个变量，于是像为零。故 ${\rho }_{n+1}$ 总是满射；当 $n\ge d$ 时，大小为 $d$ 的分拆长度至多为 $d\le n$，没有基向量消失，它就是同构。

在稳定范围选定任意坐标后，向更少变量反复置零，向更多变量则用这些同构的唯一逆像，就唯一得到整个相容序列。这同时证明 ${\mathrm{\Lambda }}^d\cong {\mathrm{\Lambda }}_n^d$ 和维数 $p(d)$；$d=0$ 时各坐标都是同一个常数，空分拆对应基向量 $1$。

交错性为什么保证整除 ​

称 $f\in \mathbb{Q}[x_1,\dots ,x_n]$ 为交错多项式，若交换任意两个变量都使它变号。置 $x_i=x_j$ 后，这次交换不改变输入，却把结果变为负值；在特征零下，所得多项式必须为零。把 $f$ 看成关于 $x_i$ 的多项式，对首一因子 $x_i-x_j$ 作除法，余项就是该代入值，故

这些线性因子两两不相伴，而且每个都是素元：模掉 $x_i-x_j$ 只把两个变量识别，商环仍是多项式整环。逐个使用素性，便知它们的整个乘积 ${\mathrm{\Delta }}_n$ 整除 $f$。

写 $f={\mathrm{\Delta }}_{n}g$。换位同时使 $f$ 和 ${\mathrm{\Delta }}_n$ 变号，在整环中消去非零的 ${\mathrm{\Delta }}_n$，得到换位保持 $g$。换位生成所有置换，所以 $g$ 对称。反之，对称多项式乘 ${\mathrm{\Delta }}_n$ 显然交错；因而乘法

给出对称空间与交错空间之间的线性同构。式 (1) 的分子因交换两行而变号，故其商确为对称多项式；分子、分母的次数差为 $|\lambda |$。

这里的 Vandermonde 公式也可沿同一思路核对：$a_{{\delta }_n}$ 交错，因而被 $\prod _{i<j}(x_i-x_j)$ 整除；两者总次数同为 $n(n-1)/2$，且按 $x_1>\cdots >x_n$ 的字典序，首单项式均为 $x_1^{n-1}{x}_2^{n-2}\cdots x_{n-1}$，系数为一。所以常数商为一，符号约定与式 (1) 一致。

交错基与 Schur 基 ​

在交错多项式中，若某单项式的两个指数相等，交换这两个变量后该单项式不变，系数却必须变号，所以系数为零。对于两两不同的指数，其整个轨道的系数由一个系数及置换符号唯一确定。将指数严格递减地排列为

对应的带符号轨道和恰是行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。 $a_{\alpha }=\det \left(x_i^{{\alpha }_j}\right)$。各轨道不交，所以这些 $a_{\alpha }$ 构成交错空间的基。

严格递减的非负整数指数唯一写成

严格递减性保证 ${\alpha }_i\ge n-i$，以及 ${\lambda }_i-{\lambda }_{i+1}={\alpha }_i-{\alpha }_{i+1}-1\ge 0$。因此 $\lambda$ 正好是补零后长度至多为 $n$ 的分拆。除以共同因子 ${\mathrm{\Delta }}_n$ 的线性同构把这组基送成 $\{s_{\lambda }^{(n)}\}$；按次数取齐次分量，就得到每个 ${\mathrm{\Lambda }}_n^d$ 的 Schur 基。

置零相容性与稳定 Schur 基 ​

还需确认不同变量数下的式 (1) 确实相容。考虑 $n+1$ 个变量，把 $\lambda$ 补到长度 $n+1$。

若 ${\lambda }_{n+1}>0$，分子每一列的指数都为正，置 $x_{n+1}=0$ 后最后一行全零。分母的特化是

这是非零多项式。由已经证明的多项式恒等式 $a=\mathrm{\Delta }s$，在整环中可推出此时 $s_{\lambda }^{(n+1)}(x,0)=0$，符合长度大于 $n$ 的约定。

若 ${\lambda }_{n+1}=0$，最后一行只有末列的 $x_{n+1}^0=1$ 非零。沿该行展开行列式，余下各行都可提出一个 $x_i$，所以

与分母的同样因子一并消去，得到

长度大于 $n+1$ 时两边本来都按约定为零。于是各个 $s_{\lambda }$ 都是相容序列。给定次数 $d$，在任一 $n\ge max(1,d)$ 的坐标中，它们已经是 ${\mathrm{\Lambda }}_n^d$ 的基；稳定同构把线性无关与张成性一同提升到 ${\mathrm{\Lambda }}^d$。

由此，有限变量恒等式可以成为稳定恒等式的证书：先确认两边同属次数 $d$，再在至少 $d$ 个变量中证明多项式相等。式 (2) 正是一次完整应用。这里说的“基”是各次数内的线性基；旧页的基本对称式 $e_1,\dots ,e_n$ 则是有限变量环的代数生成元，两种说法承担不同任务。